Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Post autor: avleyi »

W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\) siódmy wyraz jest równy 54, a dziesiąty 78. O nieskończonym ciągu geometrycznym \((b_n)\) wiadomo, że jest monotoniczny, jego trzeci wyraz jest równy \( \frac{1}{12} \) i suma trzech pierwszych jego wyrazów jest równa \( \frac{7}{12} \). Z wyrazów tych ciągów utworzono nowy ciąg \((c_n)\) o wyrazie ogólnym \(c_n = \frac{2a_n}{n(b_n +1)} \). Oblicz granicę ciągu \((c_n)\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Post autor: kerajs »

\(a_n=6+(n-1)8\\
b_n= \frac{1}{3}( \frac{1}{2} )^n \\
\Lim_{n\to \infty } c_n=16 \)
wewdivt
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 25 wrz 2022, 21:02

Re: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Post autor: wewdivt »

a jak obliczyc ten ciag geometryczny?
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3464
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1898 razy

Re: Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Post autor: Jerry »

\(\begin{cases}(b_n)CG\wedge q>0\\ b_3={1\over12}\\ b_1+b_2+b_3={7\over12}\end{cases}\So \begin{cases}b_1q^2={1\over12}\\ b_1+b_1q+{1\over12}={7\over12}\end{cases}\So \dfrac{b_1q^2}{b_1(1+q)}=\dfrac{{1\over12}}{{7\over12}-{1\over12}}\So\\\qquad\So 6q^2-q-1=0\\
\qquad(3q+1)(2q-1)=0\\
\qquad q={1\over2}\wedge b_1={1\over12}:\left({1\over2}\right)^2={1\over3}\)

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ