Wykaż że wielomian ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pamix
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 29 lip 2022, 00:17
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Wykaż że wielomian ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Post autor: Pamix »

Dany jest wielomian \(G(x)=kx^3 +lx^2 +mx +n\) , gdzie współczynniki \(k, l, m, n\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie różnym od zera. Wykaż że wielomian ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Oznaczmy \(k,l,m,n\) jako kolejne wyrazy ciągu
\(a_1=k\\
a_2=l=a_1\cdot q\\
a_3=m=a_1\cdot q^2\\
a_4=n=a_1\cdot q^3\)

Zatem
\((a_1)x^3 +(a_1\cdot q)x^2 +(a_1\cdot q^2)x +(a_1\cdot q^3)=0\)
Otóż w rozwiązaniach w ksiażce w następnym kroku autorzy dzielą to wyrażenie przez \(a_1\) i tworzą założenie że \(a_1\ne0\).
W poleceniu nie ma żadnej informacji o tym że \(a_1\) jest różne od zera.
Jak zatem rozwiązać to zadanie?
Ostatnio zmieniony 07 sie 2022, 18:23 przez Jerry, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3458
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1895 razy

Re: Wykaż że wielomian ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

Post autor: Jerry »

Pamix pisze: 07 sie 2022, 13:07 ...tworzą założenie że \(a_1\ne0\).
W poleceniu nie ma żadnej informacji o tym że \(a_1\) jest różne od zera.
Gdyby \(a_1=0\), to dany wielomian byłby wielomianem zerowym i miał nieprzeliczalnie wiele miejsc zerowych :idea:
Pamix pisze: 07 sie 2022, 13:07 Jak zatem rozwiązać to zadanie?
Rozpatrzeć wielomian \(w(x)=x^3+qx^2+q^2x+q^3\), policzyć pochodną, zauważyć jej dodatniość w całym przedziale określoności - czyli rośnięcie wielomianu, policzyć granice w kresach przedziału określoności i powołać się na własność Darbouix.

Pozdrawiam
ODPOWIEDZ