Ruch harmoniczny

[exaggerate]

Witajcie próbowałam ułożyć wzory aby wykonać te zadanie, jednak nie jestem pewna czy zastosowałam dobre wzory. Dziękuję za pomoc

Na poziomym stole leży przymocowane sprężyną do ściany ciało o masie M (patrz rysunek). Stała
sprężystości wynosi k. W ciało to trafia pocisk o masie m, lecący poziomo z prędkością v i zostaje w nim.
Po zderzeniu ciało wraz z pociskiem wykonuje drgania harmoniczne. Znaleźć:
(a) amplitudę drgań A,
(b) okres drgań T,
(c) Znaleźć zależność położenia x(t) i prędkości v(t) drgającego układu w funkcji czasu.
Założyć, że ruch odbywa się bez tarcia.

|
| ...............................--->
|...........|...........|....... v
|sprężyna| ....M.....| <---- { m }
|________|_______|_________

[korki_fizyka]

Energia kinetyczna pocisku = energia sprężystości oscylatora (M+m)
w drugim kroku wyznaczasz współczynnik sprężystości, który podstawiasz do wzoru na okres drgań.

Amplitudę wyliczasz ze wzoru na energię potencjalną sprężystości = maksymalnej energii.

Na koniec podstawiasz do wzorów na \(x(t)= A\cos\omega t\) i \(v(t) = -\omega A\sin\omega t\).

[exaggerate]

To jeszcze mam pytanka do każdego z podpunktów:
a) czy możesz podać konkretny wzór?
b) To znaczy że
- najperw liczę ω=√k/m+M czy ω=k/m,
- następnie T=2π/ω
c) Ja mam wzory postaci x(t)=Acos(ωt+ϕ), v(t)=−ωAsin(ωt+ϕ). Czemu w twoich wzorach nie ma tego ϕ, jeśli jest konieczne, to jak to wyliczyć?

- po co w zadaniu podana jest prędkość pocisku?

[korki_fizyka]

a) \(\frac{mv^2}{2} = \frac{kA^2}{2}\)

chyba widać po co jest podana prędkość pocisku ?

b) Lecący pocisk (m) nie wykonuje przecież drgań dopiero jak się wbije w klocek (M) więc w równaniach dla ruchu drgającego trzeba podstawiać M+m.

c) \(\sin(\omega t + \phi) =\cos\omega t\) można podstawić sinus, a nawet należy, bo ruch drgający zaczyna się od położenia równowagi x(t=0) = 0 wtedy \(\phi\) =0.

[exaggerate]

a) więc z tego równania wyliczam A (tu też jak wszędzie w tym zadaniu podstawiam m+M)

c) to znaczy, że jak w zadaniu nie będzie żadnej informacji o ϕ, to zakładam że ϕ=0 więc
- x(t)=Acos(ωt+ϕ) ---> A wyliczyłam w a), ω wyliczyłam w b), t jeśli będzie podane to wstawiam wartość, jeśli nie to zostaje samo t, a ϕ=0 (gdy nie ma nic o tym w zadaniu) lub inna wartość którą podstawiam.

analogicznie z v(t)
v(t)=−ωAsin(ωt+ϕ) ---> A wyliczyłam w a), ω wyliczyłam w b), t jeśli będzie podane to wstawiam wartość, jeśli nie to zostaje samo t, a ϕ=0 lub inna wartość którą podstawiam.

[korki_fizyka]

ad. c) ruch drgający harmoniczny opisuje się funkcją sinusoidalnie zmienną, a więc

\(x(t) = A\sin(\omega t +\phi)\)

faza początkowa może być dowolna, w dwóch skrajnych przypadkach, gdy:
- \(\phi = 0 \) ruch zaczyna się od położenia równowagi (rzadko) ale w tym zadaniu akurat zachodzi taka sytuacja
- \(\phi = 90^o\) (często) np. żeby zaczął sie ruch wahadłowy trzeba je najpierw wychylić z położenia równowagi w lewo lub w prawo

dalej trzeba się tego trzymać czyli jeżeli \(x(t) = A\sin\omega t\), to \(v(t) =\frac{dx}{dt} =\omega A\cos\omega t\),

natomiast jeśli \(x(t) =A \cos\omega t\), to \(v(t) =\frac{dx}{dt} =-\omega A\sin\omega t\)

"t" zostaje zawsze jako zmienna tak jak y =f(x), gdzie "x" jest dowolną, należącą do dziedziny funkcji wartością zmiennej

[exaggerate]

i to już bez różnicy czy zacznę od x(t)=Asinωt czy x(t)=Acosωt ?