Pomocy - zadania maturalne

[ge_futrys2]

Pilnie proszę o pomoc w rozwiązaniu tych trzech zadań.

[trollini]

Zad.3
Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym znajduje się na środku przeciwprostokątnej. Współrzędne środka tego okręgu to współrzędne środka odcinka \(AC\).

\(S= \left( a;b\right)= \left( \frac{-6+4}{2} ; \frac{1+7}{2} \right) = \left( -1;4\right) \)

Promień tego okręgu to długość odcinka \(AS\).
\(AS= \sqrt{ \left( -1+6\right)^2+ \left( 4-1\right)^2 }= \sqrt{25+9}= \sqrt{34} =R \)

Wzór na równanie okręgu \( \left( x-a\right)^2+ \left( y-b\right)^2=R^2 \)
\( \left( x+1\right)^2+ \left( y-4\right)^2=34 \)

[trollini]

Zad.2
Dzieląc objętości otrzymujemy sześcian skali podobieństwa, czyli \(k^3\).

\(k^3= \frac{V_1}{V_2}= \frac{9}{64} \)
\(k= \sqrt[3]{ \frac{9}{64} } = \frac{ \sqrt[3]{9} }{4} \)

Dzieląc pola powierzchni otrzymujemy kwadrat skali podobieństwa, czyli \(k^2\).

\( \frac{P_1}{P_2}=k^2= \left( \frac{ \sqrt[3]{9} }{4} \right)^2= \frac{3 \sqrt[3]{3} }{16} \)

[trollini]

Zad.1
Z jednego wierzchołka ośmiokąta wychodzi 5 przekątnych.

\( \frac{ { 8\choose 1 } \cdot {5 \choose 1 } }{2} =20 \)

Moc zbioru omegi \( { 8\choose 2 } = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{7 \cdot 8}{2} =28\)

\(P(A)= \frac{20}{28}= \frac{5}{7} \)

[ge_futrys2]

A czy zadanie 1 można zrobić bez użycia silni?

[trollini]

Oczywiście, że można bez silni.
Jeżeli chodzi moc zbioru omegi, to wybieram \(2\) wierzchołki spośród \(8\). Pierwszy mogę wybrać na \(8\) sposobów, a drugi na \(7\) sposobów. Zapisać można to z reguły mnożenia, ale trzeba dzielić przez \(2\), bo w przeciwnym razie dublowali byśmy.
\(\kre{\kre{ \Omega } }= \frac{8 \cdot 7}{2}=28 \)
Z jednego wierzchołka wychodzi \(5\) przekątnych. Też dzielimy przez \(2\).
\(\kre{\kre{A} }= \frac{8 \cdot 5}{2}=20 \)
\(P(A)= \frac{20}{28}= \frac{5}{7} \)

[janusz55]

Można.
Liczba wszystkich przekątnych ośmiokąta foremnego:

\(|A| = \frac{n(n-3)}{2} \)

\( |A| = \frac{8\cdot (8-3)}{2} = \frac{8\cdot 5}{2} = 20.\)

\( |\Omega| = 20 + 8 = 28.\)

\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7}.\)

[janusz55]

Trollini.

Korzystasz nadal z definicji symbolu Newtona.