zadanie optymalizacyjne

[BarT123oks]

Rozpatrujemy odcinki równoległe do osi Y, których jeden koniec leży na wykresie funkcji \(f(x)=\frac{2}{x+1}+1\), \(x>-1\), a drugi koniec leży na prostej o równaniu \(y=-3x+1\). Wyznacz długość najkrótszego takiego odcinka.

[Tulio]

Odcinek taki ma długość \( d = \left| y_2 - y_1 \right| \), gdzie \(y_1\) leży na wskazanej prostej zaś \(y_2\) na wskazanej krzywej.
\(d = \left| \left( \frac{2}{x+1} + 1 \right) - \left( -3x+1\right) \right| = \left| \frac{2}{x+1} + 1 + 3x-1 \right| = \left| \frac{2}{x+1} + \frac{3x\cdot \left( x+1\right) }{x+1} \right| = \left| \frac{2 + 3x^2 + 3x}{x+1} \right|\)
Dla \(x>-1\) ułamek ten ma wartość dodatnią.
Zatem
\(d \left( x\right) = d = \frac{3x^2+3x+2}{x+1}\)
\( \Lim_{x\to \infty} d \left( x\right) = \infty = \Lim_{x\to -1^+} d \left( x\right)\)
Zatem szukamy minimum lokalnego:
\(d' \left( x\right) = \frac{ \left(6x+3 \right) \cdot \left( x+1\right) - \left( 3x^2+3x+2 \right)\cdot 1 }{ \left( x+1\right)^2 }\)
Jako, że mianownik nie może być równy \(0\) to do znalezienia punktów podejrzanych o ekstremum wystarczy aby licznik był.
\(6x^2+9x+3-3x^2-3x-2 = 0\)
\(3x^2+6x+1 = 0\)
\(\Delta = 36 - 12 = 24\)
\( \sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{6} \)
Interesuje nas tylko pierwiastek \(>-1\)
\(x_1 = \frac{-6+2 \sqrt{6} }{6} = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}\)
W tym punkcie pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, a więc istotnie jest to minimum.
Zatem odpowiedź to:
\(d \left( -1 + \frac{\sqrt{6}}{3} \right) \)
co zostawiam do żmudnych wyliczeń.