Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (IACI=IBCI), na których opisano okrąg o promieniu R=1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta.
a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem \(P(x)=(x+1) \cdot \sqrt{1-x^2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji P.
c) Oblicz długość x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Trójkąty równoramienne, na których opisano okrąg o R=1.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
- Jerry
- Expert
- Posty: 3460
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1898 razy
Re: Trójkąty równoramienne, na których opisano okrąg o R=1.
Fakt: Skoro trójkąt jest ostrokątny, to środek okręgu opisanego na nim zawiera się w wysokości!
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
Pozdrawiam
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
- z \(\Delta MBQ\) i tw. Pitagorasa: \(|MB|=\sqrt{1-x^2}\)
- \(p(x)={1\over2}\cdot2\sqrt{1-x^2}\cdot(1+x)=(x+1)\sqrt{1-x^2}\wedge x\in(0;1)\)
albo, inaczej
\(p(x)=\sqrt{(x+1)^3(1-x)}\) - Rozpatrzmy \(y=f(x)=(x+1)^3(1-x)\) określoną w \(D=(0;1)\)
- \(\Lim_{x\to0^+}f(x)=\Lim_{x\to1^-}f(x)=0\)
- \(y'=f'(x)=4(x+1)^2(-x+{1\over2})\wedge D'=D\)
- WKIE:\(y'=0\iff x={1\over2}\)
- WDIE: Pochodna zmienia swój znak w \(x={1\over2}\) z dodatniego na ujemny, zatem \(\begin{cases}x={1\over2}\\y_{\max}=f({1\over2})={27\over16}=M\end{cases}\)
Pozdrawiam
- Jerry
- Expert
- Posty: 3460
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1898 razy
Re: Trójkąty równoramienne, na których opisano okrąg o R=1.
Albo, polecam,:
\(\bigwedge\limits_{0<x<1} \dfrac{3(x+1)+(3-3x)}{4}\ge\sqrt[4]{(x+1)^3(3-3x)}\) i równość zachodzi dla \(x+1=1-x\)
\(\bigwedge\limits_{0<x<1} \dfrac{3}{2}\ge\sqrt[4]{3\left(p(x)\right)^2}\) i równość zachodzi dla \(x={1\over2}\)
Pozdrawiam
Z nierówności pomiędzy średnimi:
\(\bigwedge\limits_{0<x<1} \dfrac{3(x+1)+(3-3x)}{4}\ge\sqrt[4]{(x+1)^3(3-3x)}\) i równość zachodzi dla \(x+1=1-x\)
\(\bigwedge\limits_{0<x<1} \dfrac{3}{2}\ge\sqrt[4]{3\left(p(x)\right)^2}\) i równość zachodzi dla \(x={1\over2}\)
Pozdrawiam