nierówność trygonometryczna

[anilewe_MM]

Wykaż, że dla kąta ostrego \(\alpha\) zachodzi
\(\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha+\cos\alpha>1\)

[grdv10]

Zobacz na taki rysunek (można go zrobić, bo \(\alpha\) jest kątem ostrym):

Z nierówności trójkąta \(1<\sin\alpha+\cos\alpha\), a skoro \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\sin\alpha>0\) oraz \(\cos\alpha>0\), więc\[1<\sin\alpha+\cos\alpha<\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha.\]

[Jerry]

Albo, w mniej elementarny sposób,:
dla \(\alpha\) kątów skierowanych 1. ćwiartki, czyli \(\begin{cases}0<\sin\alpha<1\\0<\cos\alpha<1\end{cases}\) mamy:
\[+\underline{\begin{cases}\sin\alpha\cos\alpha>0\\ \sin\alpha(1-\sin\alpha)>0\\\cos\alpha(1-\cos\alpha)>0\end{cases}}\\
\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha-\sin^2\alpha+\cos\alpha-\cos^2\alpha>0\\
\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha+\cos\alpha>1\qquad CKD\]
Pozdrawiam