Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDE o krawędzi podstawy 30 cm oraz ∡\(AEB=40^o\). Bryła \(ABCDPQRS \)powstała przez odcięcie ostrosłupa \(PQRSE\) od \(ABCDE\). Wiadomo ze AP =24 cm, BQ=16cm oraz CR = 20 cm.
a) oblicz długość \(ES\)
b) czy objętość ABCDPRQS jest mniejsza niż \(0,01m^3\). Uzasadnij odpowiedź.
objętość ostrosłupa
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: objętość ostrosłupa
Zadanie rachunkowo pracowite - zaproponuję tylko schemat rozwiązania:
Zauważmy oczywiste rzeczy i fakt, że przekątne \(PQRS\) przecinają się na wysokości ostrosłupa \(ABCDE\)
a)
-) z \(\Delta KAE\ : \sin\alpha={15\sqrt2\over b}=\ldots,\ \cos\alpha={\sqrt{b^2-(15\sqrt2)^2}\over b}=\ldots\)
-) z \(\Delta RPE :\\ \ {1\over2}(b-20)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha+{1\over2}(b-24)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha={1\over2}(b-20)(b-24)\sin2\alpha\quad|:{1\over2}\sin\alpha\\ \ |EL|=\ldots\)
-) z \(\Delta SQE :\\ \ {1\over2}x\cdot|LE|\cdot\sin\alpha+{1\over2}(b-16)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha={1\over2}x(b-16)\sin2\alpha\quad|:{1\over2}\sin\alpha\\ \ x=\ldots\)
b)
Objętość danej bryły jest mniejsza niż objętość ostrosłupa ściętego o górnej podstawie równoległej do \(ABCD\) i zawierającej punkt \(S\). Jego objętość można wyznaczyć:
\(V_1={1\over3}\cdot30^2\cdot b\cos\alpha\cdot\left(1-\left({x\over b}\right)^3\right)\approx\ldots\)
Pozostaję w nadziei, że to szacowanie wystarczy
Pozdrawiam
[edited] Można wyznaczyć długości wszystkich krawędzi ostrosłupa\(PQRSE\), długość przekątnej jego podstawy i z tego wywnioskować jego objętość, ale to koszmar przy tych danych!
Zauważmy oczywiste rzeczy i fakt, że przekątne \(PQRS\) przecinają się na wysokości ostrosłupa \(ABCDE\)
-) z \(\Delta KAE\ : \sin\alpha={15\sqrt2\over b}=\ldots,\ \cos\alpha={\sqrt{b^2-(15\sqrt2)^2}\over b}=\ldots\)
-) z \(\Delta RPE :\\ \ {1\over2}(b-20)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha+{1\over2}(b-24)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha={1\over2}(b-20)(b-24)\sin2\alpha\quad|:{1\over2}\sin\alpha\\ \ |EL|=\ldots\)
-) z \(\Delta SQE :\\ \ {1\over2}x\cdot|LE|\cdot\sin\alpha+{1\over2}(b-16)\cdot|LE|\cdot\sin\alpha={1\over2}x(b-16)\sin2\alpha\quad|:{1\over2}\sin\alpha\\ \ x=\ldots\)
b)
Objętość danej bryły jest mniejsza niż objętość ostrosłupa ściętego o górnej podstawie równoległej do \(ABCD\) i zawierającej punkt \(S\). Jego objętość można wyznaczyć:
\(V_1={1\over3}\cdot30^2\cdot b\cos\alpha\cdot\left(1-\left({x\over b}\right)^3\right)\approx\ldots\)
Pozostaję w nadziei, że to szacowanie wystarczy
Pozdrawiam
[edited] Można wyznaczyć długości wszystkich krawędzi ostrosłupa\(PQRSE\), długość przekątnej jego podstawy i z tego wywnioskować jego objętość, ale to koszmar przy tych danych!