Okrąg i trapez
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
avleyi
- Stały bywalec
- Posty: 252
- Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
- Podziękowania: 302 razy
- Otrzymane podziękowania: 1 raz
- Płeć:
Okrąg i trapez
W okrąg o promieniu 8 wpisano trapez. Dłuższa podstawa trapezu jest równa średnicy okręgu. Niech x - krótsza podstawa trapezu, h - wysokość trapezu. Dla jakiego x oraz h pole trapezu jest największe? Oblicz to pole oraz tangens kąta ostrego.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3512
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1923 razy
Re: Okrąg i trapez
Przy oznaczeniach:
\(y=f(x)=(16+x)^2(256-x^2) \wedge D=(0;8)\\
y'=f'(x)=-4(x-8)(x+16)^2\wedge D'=D\)
Ponieważ pochodna zeruje się w \(x=8\) zmieniając znak z dodatniego na ujemny, to
\(\begin{cases}x=8\\ y_\max=f(8)=110592=M\end{cases}\)
Odp. Największe pole, równe \(\frac{\sqrt{110592}}{4}=48\sqrt3\), ma trapez o górnej podstawie \(8\) i wysokości \(4\sqrt3\).
Tangens kąta ostrego trapezu jest równy \(\sqrt3\), bo to kąt \(60^\circ\)
Pozdrawiam
- \(h=\sqrt{8^2-\left({x\over2}\right)^2}\)
- \(S_{ABCD}={1\over2}\cdot(16+x)\cdot\sqrt{64-{x^2\over4}}={1\over4}\sqrt{(16+x)^2(256-x^2)}\) dla \(0<x<8\)
\(y=f(x)=(16+x)^2(256-x^2) \wedge D=(0;8)\\
y'=f'(x)=-4(x-8)(x+16)^2\wedge D'=D\)
Ponieważ pochodna zeruje się w \(x=8\) zmieniając znak z dodatniego na ujemny, to
\(\begin{cases}x=8\\ y_\max=f(8)=110592=M\end{cases}\)
Odp. Największe pole, równe \(\frac{\sqrt{110592}}{4}=48\sqrt3\), ma trapez o górnej podstawie \(8\) i wysokości \(4\sqrt3\).
Tangens kąta ostrego trapezu jest równy \(\sqrt3\), bo to kąt \(60^\circ\)
Pozdrawiam