W romb o kacie ostrym \(60^\circ\) wpisano okrag. Punkty styczności okręgu z bokami rombu tworzą czworokąt \(ABCD\) o polu \(3 \sqrt{3}\).
a) uzasadnij, ze czworokąt \(ABCD\) jest prostokątem
b) oblicz pole rombu
Romb
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- Jerry
- Expert
- Posty: 3465
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 50 razy
- Otrzymane podziękowania: 1901 razy
Re: Romb
Zrób schludny rysunek. Niech bok rombu będzie długości \(a=x+y\), gdzie \(x,\, y\) są długościami odcinków, na które punkt styczności okręgu o promieniu \(r\) dzieli bok rombu (licząc od kąta ostrego).
- Zauważ istnienie trójkątów podobnych do "połówek rombu", zatem boki \(ABCD\) są równoległe do przekątnych rombu, które są prostopadłe! Zatem \(ABCD\) jest prostokątem
- boki \(ABCD\) są długości \(x,\, y\sqrt3\), zatem \(x\cdot y\sqrt3=3\sqrt3\iff xy=3\)
- z trójkąta prostokątnego - "ćwiartki" rombu i tw, o średniej geometrycznej \(xy=r^2\So r=\sqrt3\)
- wysokość rombu jest dwa razy większa od promienia okręgu wpisanego, zatem \(h=2\sqrt3\)
- ponieważ romb jest podwojonym trójkątem równobocznym, to \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), czyli \(\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\iff a=4\)
- \(P_{\text{rombu}}=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{2}=8\sqrt3\)