Romb

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lodoqimu
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 29 cze 2022, 14:05

Romb

Post autor: lodoqimu »

W romb o kacie ostrym \(60^\circ\) wpisano okrag. Punkty styczności okręgu z bokami rombu tworzą czworokąt \(ABCD\) o polu \(3 \sqrt{3}\).
a) uzasadnij, ze czworokąt \(ABCD\) jest prostokątem
b) oblicz pole rombu
Ostatnio zmieniony 29 cze 2022, 16:08 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3465
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 50 razy
Otrzymane podziękowania: 1901 razy

Re: Romb

Post autor: Jerry »

Zrób schludny rysunek. Niech bok rombu będzie długości \(a=x+y\), gdzie \(x,\, y\) są długościami odcinków, na które punkt styczności okręgu o promieniu \(r\) dzieli bok rombu (licząc od kąta ostrego).
  1. Zauważ istnienie trójkątów podobnych do "połówek rombu", zatem boki \(ABCD\) są równoległe do przekątnych rombu, które są prostopadłe! Zatem \(ABCD\) jest prostokątem
  2. boki \(ABCD\) są długości \(x,\, y\sqrt3\), zatem \(x\cdot y\sqrt3=3\sqrt3\iff xy=3\)
  3. z trójkąta prostokątnego - "ćwiartki" rombu i tw, o średniej geometrycznej \(xy=r^2\So r=\sqrt3\)
  4. wysokość rombu jest dwa razy większa od promienia okręgu wpisanego, zatem \(h=2\sqrt3\)
  5. ponieważ romb jest podwojonym trójkątem równobocznym, to \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\), czyli \(\frac{a\sqrt3}{2}=2\sqrt3\iff a=4\)
  6. \(P_{\text{rombu}}=2\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{2}=8\sqrt3\)
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ