Forum serwisu

a) y'= e^ \frac{y}{x} + \frac{y}{x}\\ y=ux\\ u^{\prime}x+u=e^{u}+u\\ u^{\prime}x=e^{u}\\ e^{-u}\mbox{d}u=\frac{\mbox{d}x}{x}\\ -e^{-u}=\ln{\left|x\right|}+C\\ e^{-\frac{y}{x}}=C-\ln{\left|x\right|}\\ -\frac{y}{x}=\ln{\left|C-\ln{\left|x\right|}\right|}\\ y=-x\ln{\left|C-\ln{\left|x\right|}\right|}\\...

y\mbox{d}y=4x\sqrt{y^2+1}\mbox{d}x\\ \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}=4x\mbox{d}x\\ \sqrt{y^2+1}=2x^2+C\\ y^2+1=\left(2x^2+C\right)^2\\ y^2=\left(2x^2+C\right)^2-1\\ y=\pm\sqrt{\left(2x^2+C\right)^2-1} y^{\prime}+3x^2y=3x^2 y^{\prime}+3x^2y=0\\ y^{\prime}=-3x^2y\\ \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=-3x^2y\\ \mbox{d...

To są równania Bernoulliego

a) Równanie jednorodne Podstawienie y=ux rozdzieli zmienne b) Równanie liniowe niejednorodne pierwszego rzędu Rozdzielenie zmiennych w równaniu jednorodnym , wariacja stałych - zakładamy że całka równania niejednorodnego jest iloczynem pewnej nieznanej funkcji oraz całki równania jednorodnego i wsta...

@Panko wydaje mi się że powinieneś te pochodne liczyć z użyciem granic
aby pokazać że nie zajdzie sytuacja taka jak przy granicach
\(\Lim_{x\to 0}{\frac{\tan{x}}{x}}\)
czy
\(\Lim_{x\to 0}{\frac{e^{x}-1}{x}}\)

Tak ale równanie Bernoulliego można rozwiązywac jak liniowe choc standardem jest podstawienie

\(u=y^{1-r}\)

Najlepiej podzielić albo pisemnie albo schematem Hornera

Najpierw wyznacz dziedzinę a następnie
sprowadź do wspólnego mianownika i porównaj liczniki

Rozbij na sumę całek i ze wzoru na całkę potęgi

Jeżeli masz równanie a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} to podstawiasz x=y-\frac{a_{2}}{3a_{3}} aby otrzymać równanie w postaci y^3+py+q=0 Spróbuj podstawić x=u+v Otrzymane równanie pogrupuj i przekształć w układ równań który będzie przypominał wzory Viete'a trójmianu kwadratowego Ze wzorów Viete ot...

No i tutaj udowodniłeś że nie warto traktować strony gładkiego jako źródła Po zastosowaniu podstawienia Eulera mamy całkę z funkcji wymiernej \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x} \ a>0 \ \sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x\\ \int{R\left(x,\sqrt{ax^2+bx+c}\right)\mbox{d}x} \ c>0 \ \sqrt{ax^2+bx+c...

To samo w trzeciej całce ,można było podstawić \frac{1}{1+x^2} (złożyłem dwa podstawienia które prowadzą do wyniku radagast) Można też podstawić \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} i otrzymamy wynik octahedrona Podstawienie które użył octahedron jest dość standardowe dla całki którą otrzymała radagast No ale to ...

Porównywanie z szeregiem geometrycznym będzie dobrym pomysłem
Iloraz tego szeregu można policzyć \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\)
Jeżeli wartość bezwzględna granicy tego ilorazu jest mniejsza od jedynki to zbieżny

W pierwszej całce można było od razu za pierwiastek podstawić W trzeciej całce pasują drugie oraz trzecie podstawienie Eulera Drugie podstawienie Eulera prowadzi do całki którą łatwo rozłożyć bawiąc się licznikiem Trzecie podstawienie Eulera prowadzi do tzw szybkiej całki z "jedynie słusznego&q...