Forum serwisu

Elementarnie (dołącz założenia!): \[\Lim_{x\to a} \frac{x^n-a^n}{x^m-a^m} =\Lim_{x\to a} \frac{(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\ldots+xa^{n-2}+a^{n-1})}{(x-a)(x^{m-1}+x^{m-2}a+\ldots+xa^{m-2}+a^{m-1})} =\frac{(n-1)a^{n-1}}{(m-1)a^{m-1}}=\frac{n-1}{m-1}a^{n-m}\] Z reguły de l'Hospitala - szybciej... Jednak p...

Icanseepeace : rozumiem, że chciałeś napisać ciąg jest zbieżny a granica nieokreślona ? Ciąg jest zbieżny i granica również jest znana: \frac{(-1 ; \frac{1}{2})_{\infty}}{2} Samo ograniczenie ciągu od góry przez pewną liczbę nie powinno być używane do stwierdzenia (nie mylić z sugerowaniem), że lic...

(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{4})\ldots(1 + \frac{1}{2^n}) = \frac{15}{8} \cdot [ (1 + \frac{1}{8}) + \ldots + (1 + \frac{1}{2^n})] \leq \frac{15}{8} \cdot (1 + \frac{\frac{1}{8} + \ldots + \frac{1}{2^n}}{n-2})^{n-2} \leq \frac{15}{8} (1 + \frac{1}{4(n-2)})^{n-2} \leq \frac{15}{8} \cdot \sqrt[4]{e}

@Icanseepeace: jak się znajduje taką postać wielomianu? Ja bym na to nie wpadła! Skojarzyłem współczynniki -4 , 6 z pewnym rzędem trójkąta Pascala i potem trochę szczęściem reszta też się pozwijała. Taki rozkład nie zawsze jest łatwo znaleźć. Dlatego: Proponuję też abyś rozwiązała to zadanie metodą...

Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie. Raczej nieujemne! Trafna sugestia, tak nieujemne. Skoro już poruszyłeś temat to pozwolę sobie trochę doprecyzować moje stwierdzenie. Sam fakt, że pewna funkcja g. Posiada wszystkie ekstrema dodatnie, wcale nie musi oznaczać, że ta funkcja przyjmuje tylko warto...

\( 3x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 12x + m = (x-1)^4 + 2(x^2 - 1)^2 + 4(x-1)^2 + m - 7 \)
Wystarczy aby
\( m \geq 7 \)
Można też użyć pochodnej -> Wszystkie ekstrema muszą być dodatnie.

a - podstawa systemu n - liczba cyfr Wtedy najmniejsza liczba będzie równa 0, a najwieksza: \underbrace{ \underline{a-1}\ \underline{a-1} \ldots \ \underline{a-1}}_{n} = (a-1) \cdot \sum\limits_{k = 0}^{n-1} a^k = a^{n} - 1 Dla przykładu format osemkowy ( a = 8 ) z dwiema cyframi (n = 2 ) daje najw...

\( |ab| = |a| \cdot |b| \)
\( |2iz + 6| \leq 6 \\ | 2i(z - 3i)| \leq 6 \\ |2i| |z - 3i| \leq 6 \\ |z - 3i| \leq 3 \)

Nierówność \sin (x) < x to nierówność Jordana której dowód można łatwo znaleźć( rozszerzenie poza przedział (0 , \frac{\pi}{2}) jest trywialne). Do uzasadnienia x - x^3 < \sin (x) dla x > 0 można posłużyć się pochodną. Zdefiniuj sobie funkcję f(x) = \sin(x) + x^3 - x i zobacz jaki jest znak pochodne...

Ja dorzucę swój pomysł: Skoro f(x) ma dwa pierwiastki całkowite to możemy zapisać: x_1 + x_2 = -b \ \wedge x_1 \cdot x_2 = c . Wtedy mamy: 1 + b + c = 1 - (x_1 + x_2) + x_1 \cdot x_2 = (x_1 - 1)(x_2 - 1) = p gdzie p jest liczbą pierwszą. Stąd albo x_1 - 1 = 1 albo x_1 - 1 = -1 , ale drugą opcję odrz...

Nie ma nic wspólnego bo podzielność ma zachodzić na pewnego zbioru liczb ( w tym wypadku N) a nie dla wybranej.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ma%C5%82e ... ie_Fermata
Oczywiście poza dowodami licealnymi jest jeszcze dowód wykorzystujący indukcję matematyczną.