Forum serwisu

Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(x,y\) prawdziwa jest nierówność \(\frac{x+1}{y}+(yx+1)y>2\)

1) \((4-\cos(x))^2=8\sin^2(\frac{x}{2})-8\cos^2(\frac{x}{2})+\frac{65}{4}\), dla \(x \in (-\pi,\pi)\)
2) \((\sin(x)-1)^2=\frac{3}{2}-4\sin(\frac{x}{2})\cos\frac{x}{2}\), dla \(x \in (0, 2\pi)\)

W nieskończonym ciągu geometrycznym malejącym \(a_n\) określonym dla każdej liczby naturalnej dodatniej \(n\), jest spełniony warunek \(\frac{a_9+a_7}{a_7}=\frac{25}{16}\). Wyznacz wzór na n-ty wyraz tego ciągu jeśli wiadomo, że suma wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych jest równa 15.

Liczby \(x,y\) spełniają układ równań \(\left\{\begin{array}{rcl}2x+y=k\\x-y=k-2\end{array} \right.\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(k\), dla których spełniona jest nierówność \(|3x-6y|<\frac{6}{k}\)

Dana jest prosta \(-3x+2y=-1\) oraz okrąg opisany równaniem \(x^2-12x+y^2-4y+14=0\). Punkty \(K,L\) to punkty przecięcia się tej prostej z okręgiem. Wyznacz długość odcinka \(PF\), gdzie \(P\) to środek okręgu, zaś \(F\) to środek odcinka \(KL\).

Wyznacz te wartoźci \(p,f\), gdzie \(p,f \in R\), dla których nierówność \(x(x-1)(x+3)(x^3-(p-f)x^2+pfx) \geq 0\) jest prawdziwa dla kazdej liczby rzeczywistej \(x\)

Niech \(-\frac{1}{2}x+a-1\) oraz \(g(x)=ax-2\). Wyznacz te wartości \(a,a \in R\), dla których iloczyn miejsc zerowych tych funkcji jest nie mniejszy niż 3.

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych, w których zapisie wystąpią co najwyżej dwie dwójki.

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) spełniona jest nierówność \(\sqrt[4]\frac{x^4+y^4}{2}-\sqrt\frac{x^2+y^2}{2}\geq 0\).

Ciąg \((a,b,c)\) jest geometryczny i \(a+b+c=26\), zaś ciąg \((a-5,b-4,c-11)\) jest arytmetyczny. Oblicz a,b,c

Jakie jest prawdopodobieństwo, że ze zbioru wszystkich liczb naturalnych 4-cyfrowych, wylosujemy liczbę parzystą o różnych cyfrach jeśli wiadomo, że w zapisie tej liczby wystąpi cyfra 4 i cyfra 5?

W układzie współrzędnych dane są punkty \(A=(-3,-1)\), \(B=(4,6)\). Na wykresie funkcji \(y=3\sqrt{x}-1\) znajdź taki punkt \(C\), dla którego pole trójkąta ABC jest najmniejsze.

Z punktu \(A=(7,-1)\) poprowadzono styczne do okręgu opisanego równaniem \(x^2+y^2+6x-2y=10\). Wyznacz pole trójkąta \(APS\), gdzie \(P,\ S\) to punkty styczności tego okręgu ze stycznymi