dowód

[BarT123oks]

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y\) spełniona jest nierówność \(\sqrt[4]\frac{x^4+y^4}{2}-\sqrt\frac{x^2+y^2}{2}\geq 0\).

[nijak]

Po przekształceniach:
\[ \frac{ \sqrt[4]{2} \sqrt[4]{x^4+y^4}- \sqrt{x^2+y^2} }{ \sqrt{2} }\geq 0 \]
co jest prawdą dla \(x,y \ge 0\)

Pozdrawiam

[Jerry]

...co jest prawdą dla \(x,y \ge 0\)

Dowód teologiczny?

Do rzeczy:
Nierówność
\[\sqrt[4]\frac{x^4+y^4}{2}\ge\sqrt\frac{x^2+y^2}{2}\]
jest równoważna kolejno
\[\sqrt[4]\frac{x^4+y^4}{2}^4\ge\sqrt\frac{x^2+y^2}{2}^4\\
\frac{x^4+y^4}{2}\ge \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{4}\\
x^4-2x^2y^2+y^4\ge0\\
(x^2-y^2)^2\ge0\]
co jest prawdą, zatem wyjściowa nierówność jest prawdziwa.

Pozdrawiam

[nijak]

Dowód teologiczny?

Proszę dowód metafizyczny:
\[ \bigwedge\limits_{x\geq0}\biggl( \frac{x^2}{2}\biggl)^ \frac{1}{4} -\biggl( \frac{x}{2} ^ \frac{1}{2} \biggr)\geq 0 \]

co sprowadza się do formuły, iż
\[f(x)= \frac{ \sqrt[4]{2} \sqrt{|x|} - \sqrt{x} }{ \sqrt{2} } \]

Należy dokończyć jaka jest teologiczna dziedzina i zbiór wartości. Mając na uwadze pełny formalizm matematyczny.

Pozdrawiam

[nijak]

\( \frac{x^4+y^4}{2}\ge \frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{4}\\
x^4-2x^2y^2+y^4\ge0\\
(x^2-y^2)^2\ge0 \)

Powinno być:
\( \frac{1}{4}(x^4-2x^2y^2+2y^4-y^2)\ge 0 \)

Ta nierówność nie jest spełniona dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y\).

Pozdrawiam

[Jerry]

Bez komentarza.

Wątek rozwija się w dziwną stronę, zamykam!