prawdopodobieństwo

[presidente]

Niech \(n\) będzie ustaloną liczbą naturalna dodatnią większą od 2. Ze zbioru \(M= [1,2,3,...,3n] \) losujemy jednocześnie 3 liczby. Zdarzeniu \(A\) sprzyja jednoczesne wylosowanie ze zbioru \(M\) trzech liczb, takich że suma tych liczb jest podzielna przez 3. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.

Wyznaczyłem \( \kre{\kre{\Omega}} = {3n\choose 3} = \frac{9n^{2}(n-1) +2n}{2} \)

Ilość liczb, ktore przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2 \( \to n+2\)
Ilość liczb, ktore przy dzieleniu przez 3 dają resztę 1 \( \to n+2\)
Ilość liczb, ktore przy dzieleniu przez 3 dają resztę 0 \( \to n+2\)

Niech \(\kre{\kre{A}}\) oznacza wylosowanie 3 liczb takich, że suma tych liczb jest podzielna przez 3:
\(1)\) trzy liczby podzielne przez 3 \( \to {n+2\choose 3} \)
\(2)\) trzy liczby podzielne przez 3 z resztą 1 \( \to {n+2\choose 3} \)
\(3)\) trzy liczby podzielne przez 3 z resztą 2 \( \to {n+2\choose 3} \)
\(4)\) jedna liczba podzielna przez 3, jedna liczba podzielna przez 3 z resztą 2, jedna liczba podzielna przez 3 z resztą 1\( \to {n+2\choose 1}{n+2\choose 1}{n+2\choose 1} \)

Potem dodaje wszystkie przypadki i podstawiam do wzoru, więc to już czyste rachunki, ale czy dobrze rozumuję jak do tego dojść ?

[Jerry]

Wg mnie rozumowanie - OK, mnogości już nie! Liczb podzielnych przez trzy, podzielnych przez trzy z resztą jeden i podzielnych przez trzy z resztą dwa jest tyle samo: \(n\). Moc \(\Omega\) też tak sobie doliczona...

Pozdrawiam

[presidente]

Wg mnie rozumowanie - OK, mnogości już nie! Liczb podzielnych przez trzy, podzielnych przez trzy z resztą jeden i podzielnych przez trzy z resztą dwa jest tyle samo: \(n\). Moc \(\Omega\) też tak sobie doliczona...

Pozdrawiam

Faktycznie pomyliłem się w obliczeniach, liczb podzielnych przez 3, z resztą 1 i z resztą 2 będzie \(n\). Czyli zostaje podstawić do wzoru