Próbna matura SNM 2023, rozszerzenie
: 31 mar 2023, 11:18
Wśród innych, przyjaznych, zadań:
Pozdrawiam
[edited] po poniższym poprawka bad-klick w treści zadania
Zadanie 12.3p.
Udowodnij, że jeśli \(a^2+b^2=(a+b-c)^2,\ b\ne c,\ a+b\ne c\), to \(\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{a-c}{b-c}\)
Rozwiązanie
Z założenia mamy:
\[L_T=\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{(a-c)(a+2b-c)+(a-c)^2}{(b-c)(2a+b-c)+(b-c)^2}=\\
\frac{(a-c)(a+2b-c+a-c)}{(b-c)(2a+b-c+b-c)}=\frac{(a-c)(2a+2b-2c)}{(b-c)(2a+2b-2c)}=\frac{a-c}{b-c}=P_T\\ CKD\]
- \(a^2=(a+b-c)^2-b^2=(a+b-c-b)(a+b-c+b)=(a-c)(a+2b-c)\)
- \(b^2=(a+b-c)^2-a^2=(a+b-c-a)(a+b-c+a)=(b-c)(2a+b-c)\)
\[L_T=\frac{a^2+(a-c)^2}{b^2+(b-c)^2}=\frac{(a-c)(a+2b-c)+(a-c)^2}{(b-c)(2a+b-c)+(b-c)^2}=\\
\frac{(a-c)(a+2b-c+a-c)}{(b-c)(2a+b-c+b-c)}=\frac{(a-c)(2a+2b-2c)}{(b-c)(2a+2b-2c)}=\frac{a-c}{b-c}=P_T\\ CKD\]
[edited] po poniższym poprawka bad-klick w treści zadania