Strona 1 z 1
ciag geometryczny
: 30 mar 2023, 22:24
autor: marekpsi
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an okreśclony dla \(n\neq 1\), w którym \(a_1<0\). Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność \(S\geq 9a_2-3a_1\). Wykaż, że \(3a_{2023}=2a_{2022}\)
Re: ciag geometryczny
: 30 mar 2023, 22:52
autor: eresh
marekpsi pisze: ↑30 mar 2023, 22:24
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny an okreśclony dla
\(n\neq 1\), w którym
\(a_1<0\). Suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność
\(S\geq 9a_2-3a_1\). Wykaż, że
\(3a_{2023}=2a_{2022}\)
\(|q|<1\\
S\geq 9a_2-3a_1\\
\frac{a_1}{1-q}\geq 9a_1q-3a_1\\
\frac{1}{1-q}\leq 9q-3\\
1-q\leq (9q-3)(1-q)^2\\
(1-q)(1-(9q-3)(1-q))\leq 0\\
(1-q)(1-9q+9q^2+3-3q)\leq 0\\
(1-q)(9q^2-12q+4)\leq 0\\
9(1-q)(q-\frac{2}{3})^2\leq 0\\
q=\frac{2}{3}
\)
\(3a_{2023}=3a_1q^{2022}=3a_1\cdot (\frac{2}{3})^{2022}=3a_1\cdot \frac{2}{3}\cdot (\frac{2}{3})^{2021}=2a_1\cdot (\frac{2}{3})^{2021}=2a_{2022}\)
Re: ciag geometryczny
: 31 mar 2023, 10:27
autor: pinkfl33
A dlaczego taki wzór na sumę
\(\frac{a_1}{1-q}\)
Re: ciag geometryczny
: 31 mar 2023, 10:34
autor: eresh
pinkfl33 pisze: ↑31 mar 2023, 10:27
A dlaczego taki wzór na sumę
\(\frac{a_1}{1-q}\)
bo to wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego
Re: ciag geometryczny
: 31 mar 2023, 10:37
autor: pinkfl33
\(S_n= \begin{cases}a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \ dla \ q \neq 1 \\ a_1 \cdot n \ dla \ q=1 \end{cases} \)
to nie to samo
Re: ciag geometryczny
: 31 mar 2023, 10:38
autor: eresh
pinkfl33 pisze: ↑31 mar 2023, 10:37
\(S_n= \begin{cases}a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \ dla \ q \neq 1 \\ a_1 \cdot n \ dla \ q=1 \end{cases} \)
to nie to samo
to jest wzór na sumę n początkowych wyrazów, w zadaniu jest mowa o sumie wszystkich wyrazów