forum.zadania.info

Wykaż, że jeżeli liczby a i b są dodatnie to \(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} +4( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) \ge 10\)

1)Jednak mam, znalazłem bład
2)Jednak dalej nie wychodzi.
3)Jednak wychodzi, znowu znalazłem błąd, teraz już na pewno jest i jest dobrze.

Po przekształceniach formą alternatywną tego wyrażenia jest:

\[ \frac{(a-b)^2(a^2+6ab+b^2)}{a^2b^2} ≥0, \]
co jest prawdą dla \(a>0 , \ b>0\)

Pozdrawiam

Pawm32 pisze: ↑23 mar 2023, 22:42 Wykaż, że jeżeli liczby a i b są dodatnie to \(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} +4( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} ) \ge 10\)

Albo, ze znanego fakt: \[\bigwedge\limits_{x>0}x+{1\over x}\ge2\wedge (x+{1\over x}=2\iff x=1)\]
mamy \[L_N=\left(\frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2}\right) +4\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right )\ge 2+4\cdot2=10=P_N\] i równość zachodzi dla \(a=b\)

Pozdrawiam