Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju
\(\int\limits_\frac{\pi}{2}^\pi \frac{1}{\sin x} dx\)
Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
taneltatius
- Dopiero zaczynam
- Posty: 15
- Rejestracja: 15 wrz 2022, 12:27
- Podziękowania: 8 razy
Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju
Ostatnio zmieniony 21 mar 2023, 10:06 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \limits, \sin
Powód: Poprawa kodu: \limits, \sin
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Korzystając z definicji zbadać zbieżność całek niewłaściwych drugiego rodzaju
Funkcją pierwotną jest
\[\ln\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.\]Zatem\[\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{\text{d}x}{\sin x}=\lim\limits_{t\to\pi^-}\int_{\pi/2}^t\frac{\text{d}x}{\sin x}=\lim\limits_{t\to\pi^-}\ln\sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}}=+\infty,\]gdyż wyrażenie pod pierwiastkiem zmierza do \(+\infty\). Całka jest rozbieżna.
\[\ln\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.\]Zatem\[\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{\text{d}x}{\sin x}=\lim\limits_{t\to\pi^-}\int_{\pi/2}^t\frac{\text{d}x}{\sin x}=\lim\limits_{t\to\pi^-}\ln\sqrt{\frac{1-\cos t}{1+\cos t}}=+\infty,\]gdyż wyrażenie pod pierwiastkiem zmierza do \(+\infty\). Całka jest rozbieżna.