Strona 1 z 1
ciągi
: 19 mar 2023, 15:55
autor: BarT123oks
Średnia arytmetyczna trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 26. Wyrazy te są odpowiednio równe trzeciemu, jedenastemu oraz trzydziestemu trzeciemu wyrazu ciągu arytmetycznego. Wyznacz trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 16:08
autor: eresh
BarT123oks pisze: ↑19 mar 2023, 15:55
Średnia arytmetyczna trzech pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 26. Wyrazy te są odpowiednio równe trzeciemu, jedenastemu oraz trzydziestemu trzeciemu wyrazu ciągu arytmetycznego. Wyznacz trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego
\(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=26\\
\)
\(a_1=b_{3}\\
a_2=b_{11}\\
a_3=b_{33}\)
\(\frac{b_3+b_{11}+b_{33}}{3}=26\\
b_1+2r+b_1+10r+b_1+32r=78\\
3b_1+44r=78\\
b_1=\frac{78-44r}{3}\\
b_3=\frac{78-44r}{3}+2r=\frac{78-38r}{3}\\
b_{11}=\frac{78-44r}{3}+10r=\frac{78-14r}{3}\\
b_{33}=\frac{78-44r}{3}+32r=\frac{78+52r}{3}\)
\(\frac{(78-14r)^2}{9}=\frac{(78-38r)(78+52r)}{9}\\
r=0\;\;\;r=\frac{273}{181}\\
\begin{cases}a_1=b_3=26\\a_2=b_{11}=78\\a_3=78\end{cases}\;\;\;\vee\;\;\;\begin{cases}a_1=b_3=\frac{1248}{181}\\a_2=b_{11}=\frac{3432}{181}\\a_3=\frac{9438}{181}\end{cases}\)
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 20:03
autor: Doni67
Jeśli średnia arytmetyczna trzech wyrazów ciągu ma być równa 26, to żadno z tych rozwiązań tego nie spełnia.
\(\frac{26+78+78}{3}= 60\frac{2}{3}\)
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 20:15
autor: eresh
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 20:03
Jeśli średnia arytmetyczna trzech wyrazów ciągu ma być równa 26, to żadno z tych rozwiązań tego nie spełnia.
\(\frac{26+78+78}{3}= 60\frac{2}{3}\)
Pomyłki się zdarzają, bez problemu można ogarnąć jaki powinien być pierwszy wyraz
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 20:40
autor: Doni67
Możesz napisać prawidłowe odpowiedzi?
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 20:47
autor: eresh
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 20:40
Możesz napisać prawidłowe odpowiedzi?
jak widać, ciąg geometryczny z pierwszego przypadku jest stały
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 20:58
autor: Doni67
Chodzi mi też o drugi przypadek
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 21:01
autor: eresh
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 20:58
Chodzi mi też o drugi przypadek
A w drugim coś jest nie tak?
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 21:25
autor: Doni67
Tak z twoich rozwiązań wynika, że średnia jest równa \(\approx 39.8\)
Re: ciągi
: 19 mar 2023, 21:28
autor: eresh
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 21:25
Tak z twoich rozwiązań wynika, że średnia jest równa
\(\approx 39.8\)
eresh pisze: ↑19 mar 2023, 16:08
\(\begin{cases}a_1=b_3=\frac{1248}{181}\\a_2=b_{11}=\frac{3432}{181}\\a_3=\frac{9438}{181}\end{cases}\)
chyba nie wynika
\(\frac{\frac{1248}{181}+\frac{3432}{181}+\frac{9438}{181}}{3}=\frac{\frac{14118}{181}}{3}=\frac{78}{3}=26\)