Strona 1 z 1
Wielomian
: 19 mar 2023, 15:30
autor: BarT123oks
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu \(P(x)=x^{2022}-2x^{2021}+3x-2\) przez \(x^3-x\)
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 15:38
autor: eresh
BarT123oks pisze: ↑19 mar 2023, 15:30
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu
\(P(x)=x^{2022}-2x^{2021}+3x-2\) przez
\(x^3-x\)
\(W(x)=x(x-1)(x-1)\\
P(x)=W(x)Q(x)+ax^2+bx+c\\
P(0)=c=-2\\
P(1)=a+b+c=0\\
P(-1)=a-b+c=-2\)
\(\begin{cases}c=0\\a=1\\b=1\end{cases}\\
R(x)=x^2+x-2\)
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 16:03
autor: Icanseepeace
\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 17:06
autor: Doni67
Icanseepeace pisze: ↑19 mar 2023, 16:03
\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)
Czy może ktoś wytłumaczyć co oznacza tutaj znak tożsamości i dlaczego z
\(x^{2021}\) przechodzi na
\(x\)
\(x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \)
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 19:55
autor: janusz55
Może niech autor tej równoważności się wypowie ?
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 20:24
autor: Jerry
janusz55 pisze: ↑19 mar 2023, 19:55
Może niech autor tej równoważności się wypowie ?
W zastępstwie
Icanseepeace, pod Jego nieobecność,:
To nie jest tożsamość/równoważność, ale zapis kongruencji/przystawania: \(x^{2021}\equiv x\mod (x^3-x)\)
Powolutku, metodą wykorzystana przez
eresh w poście powyżej:
\(x^{2021}=(x^3-x)\cdot p(x)+r(x)\wedge r(x)=ax^2+bx+c\\\quad \begin{cases}0=c\\1=a+b+c\\-1=a-b+c\end{cases}\iff\begin{cases}a=0\\b=1\\c=0\end{cases}\So r(x)=x\)
Pozdrawiam
[edited]
Icanseepeace: przepraszam, jak zaczynałem post - nie było Cię na forum
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 20:29
autor: Icanseepeace
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 17:06
Icanseepeace pisze: ↑19 mar 2023, 16:03
\(
x^{2022} - 2x^{2021} + 3x - 2 = x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \equiv x^2 - 2x + 3x - 2 \equiv x^2 + x - 2 = R(x)
\)
Czy może ktoś wytłumaczyć co oznacza tutaj znak tożsamości i dlaczego z
\(x^{2021}\) przechodzi na
\(x\)
\(x^{2021}(x-2) + 3x - 2 \equiv x(x-2) + 3x - 2 \)
Zapomniałem na końcu napisać do jakiego wielomianu jest zdefiniowane to przystawanie.
Mój błąd. Prawidłowo po
\( R(x) \) powinno być jeszcze
\( \mod (x^3 - x) \)
Zatem jedynym przejściem które może sprawić problem jest:
\( x^{2021} \equiv x \mod (x^3 - x) \)
które dla lepszego zrozumienia można opisać słowami: wielomiany
\( x^{2021} \) oraz
\( x \) dają taka samą resztę z dzielenia przez wielomian
\( x^3 - x \). Istotnie, zaczynając od zapisania:
\( x^{2021} = (x^{2021} - x^{2019}) + x^{2019} \). Ponieważ :
\(x^{2021} - x^{2019} = x^{2018}(x^3 - x) \) to wyrażenie w pierwszym nawiasie jest podzielne przez
\( x^3 - x \). Dlatego wielomiany
\( x^{2021} \) oraz
\( x^{2019} \), mają taką samą resztę z dzielenia przez wielomian
\( x^3 - x \). Powtarzając powyższe rozumowanie ponad tysiąc razy dostajemy szukane:
\( x^{2021} \equiv x \mod (x^3 - x) \)
P.S.
Co ciekawe ten sam wynik dostaniemy po prostu korzystając z równania
\( x^3 - x = 0 \So x^3 = x \So x^2 = 1 \).
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 20:35
autor: janusz55
Rozumiem! Brak znaku "mod" . W szkolnych zadaniach dotyczących wielomianów nie ma kongruencji. Choć może zdarzają się kólka matematyczne , gdzie ten temat jest przedstawiany.
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 20:39
autor: Doni67
Możesz rozpisać lepiej bo nie wiem skąd wynika np. \(c=0\)
Re: Wielomian
: 19 mar 2023, 20:49
autor: Jerry
Doni67 pisze: ↑19 mar 2023, 20:39
Możesz rozpisać lepiej bo nie wiem zkąd wynika np.
\(c=0\)
Z pierwszego równania układu
Jerry pisze: ↑19 mar 2023, 20:24
\(\ldots\begin{cases}0=c\\1=a+b+c\\-1=a-b+c\end{cases}\ldots\)
Pozdrawiam
Re: Wielomian
: 20 mar 2023, 00:30
autor: Doni67
P.S.
Co ciekawe ten sam wynik dostaniemy po prostu korzystając z równania \( x^3 - x = 0 \So x^3 = x \So x^2 = 1 \).
A tego już wcale nie rozumiem. Może ktoś wyjaśnić zkąd to wynika?
Re: Wielomian
: 20 mar 2023, 09:40
autor: Tulio
W miejscu gdzie jest używane \(\mod \left( x^3 - x\right) \) - rozważamy dzielenie (resztę z dzielenia) przez \(x^3-x\). Nie możemy dzielić przez zero więc sytuację \(x^3-x=0\) należy rozważyć oddzielnie. Ta mogła dać dodatkowe wyniki, albo dać sprzeczność, ale dała te same co rozważanie \(\mod \left( x^3 - x\right) \) co uznano za nawet ciekawe.