Strona 1 z 1
Zadanie dowodowe z Trapezem
: 18 mar 2023, 16:10
autor: AdaśkoG
W trapezie \(ABCD \) o podstawach \(AB\) i \(CD\) dane są długości odcinków \(|BC|= q\) oraz \(|AB| = |AC| = |AD|= p\) . Oblicz długość odcinka \(BD\). Jaki warunek musi spełniać \(p\) i \(q\) aby zadanie miało rozwiązanie? Z góry dziękuje za pomoc
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 18 mar 2023, 17:10
autor: Jerry
Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj
Pozdrawiam
Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(2p^2-q^2>0\) mamy \(|BD|=\sqrt{4p^2-q^2}\)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 18 mar 2023, 17:32
autor: janusz55
Z trójkąta równoramiennego \( ABC \) z porównania pola, obliczamy długość wysokości \( h = |CF|\) - trapezu.
Z trójkąta prostokątnego \( AED \) - obliczamy długość odcinka \( AE \) z twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta prostokątnego \( DEB \) - ponownie obliczamy wzorem Pitagorasa długość przekątnej \( BD \) trapezu.
Z postaci otrzymanego wzoru na długość przekątnej \( BD \) odpowiadamy na pytanie " jakie warunki muszą spełniać długości odcinków \( p, q, \) aby ten wzór miał sens" ?
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 10:08
autor: Jerry
Po poście
janusz55, doprecyzuję mój, prowadzący do szybkiej odpowiedzi, hint
Jerry pisze: ↑18 mar 2023, 17:10
Zrób schludny rysunek, "przedłuż" do trapezu równoramiennego i ... wnioskuj
i dodatkowo: \(\alpha<90^\circ\So q<p\sqrt2\)
Pozdrawiam
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 12:24
autor: janusz55
\( 0 < \frac{q}{p} < \ \ ... \)
\( |BD| = \ \ ... \)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 13:14
autor: Doni67
Chyba powinno być tak:
Dla dodatnich \(p,q\) takich, że \(4p^2-q^2>0\)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 13:43
autor: janusz55
Liczyłeś to zadanie ?
Jak przekształcisz tę nierówność, to \( \frac{q}{p} < \ \ ...\)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 14:14
autor: Maciek32
Mi wychodzi, że jeśli \(|BD|= \sqrt{4p^2-q^2} \)
to \( 4p^2>q^2 \So q<2p \So 0<\frac{q}{p} <2\)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 14:51
autor: janusz55
Jeżeli dodamy do obu stron nierówności \( 4p^2 - q^2 > 0, \ \ + q^2 \) to \( 4p^2 > q^2 \ \ (*)\)
Jeśli podzielimy nierówność \( (*)\) przez \( p^2 \) to \( 4> \frac{q^2}{p^2} \ \ (**) \)
Jeśli odejmiemy do obu stron nierówności \( (**) -4, \) to
\( \frac{q^2}{p^2} - 4 = \left(\frac{q}{p} - 2\right)\left(\frac{q}{p} +2\right) < 0 \)
Stąd:
\( ...< \frac{q}{p} < \ \ ...\) pamiętając, że \( \frac{q}{p}>0. \)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 15:28
autor: Maciek32
Dochodzimy i tak do tego samego ponieważ rozwiazaniem nierówności \(( \frac{p}{q} -2)( \frac{p}{q}+2)<0\) jest przedział \((-2,2)\) uwzględniając warunek \( \frac{p}{q} >0\) wychodzi to samo.
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 19 mar 2023, 15:46
autor: janusz55
" Dochodzimy do tego samego", ale nie tą nierównością , którą napisałeś, tylko nierównością o przeciwnym znaku:
\( 4p^2 - q^2>0 \mid \cdot \frac{1}{q^2} \)
\( \frac{4p^2}{q^2}-1 >0,\)
\( \left(\frac{2p}{q} -1\right)\left (\frac{2p}{q} +1\right) >0\)
..............................
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 20 mar 2023, 22:03
autor: anilewe_MM
Jakieś farmazony piszecie! I po co? @Jerry jak zwykle super rozwiązał zadanie z geometrii i uzasadnił warunki rozwiązania
Chciałabym się nauczyć tak to robić
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 20 mar 2023, 22:26
autor: Maciek32
\(q<p\sqrt2\)
Czy to twoim zdaniem jest dobrze? Raczej
\(q<2p\)
Jak i to:
\(2p^2-q^2>0\)
Re: Zadanie dowodowe z Trapezem
: 21 mar 2023, 10:13
autor: Jerry
Maciek32 pisze: ↑20 mar 2023, 22:26
\(q<p\sqrt2\)
Czy to twoim zdaniem jest dobrze?
Popatrz, proszę, jeszcze raz na rysunek w moim drugim poście. Czy wyobrażasz sobie taki trapez \(ABCD\), w którym zaznaczony kąt \(\alpha\) jest prosty lub rozwarty? Jeśli nie, to... jest dobrze!
Pozdrawiam