forum.zadania.info

wykaż, że \( \sqrt[3]{9+ \sqrt{80} } +\sqrt[3]{9- \sqrt{80} } =3\)

Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).

szw1710 pisze: ↑15 mar 2023, 18:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).

Rozumiem, że tak jest krócej, łatwiej i tak dalej, ale nigdy bym tego tak nie zrobił, a nawet nie pomyślałbym w ten sposób, pierwszy raz spotykam się z takim sposobem, także tu pojawia się moje pytanie czy istnieje jakiś inny sposób?

Przyjmij, że \(9+4 \sqrt{5}= \frac{ (\sqrt{5} +3)^3}{8} \), zaś \(9- \sqrt{5}= \frac{ (3-\sqrt{5} )^3}{8} \), po zastosowaniu wzoru na sześcian sumy i różnicy.
Następnie wracamy do obliczeń:
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (\sqrt{5} +3)^3}+ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (3-\sqrt{5} )^3 } =
\frac{\sqrt[3]{ (\sqrt{5} +3)^3}}{ \sqrt[3]{8} }+\frac{ \sqrt[3]{ (3- \sqrt{5})^3 }}{{ \sqrt[3]{8} } }=\\= \frac{ \sqrt{5}+3 }{2} + \frac{3- \sqrt{5} }{2} =3\]

Pozdrawiam

Pawm32 pisze: ↑15 mar 2023, 22:37 Rozumiem, że tak jest krócej, łatwiej i tak dalej, ale nigdy bym tego tak nie zrobił, a nawet nie pomyślałbym w ten sposób, pierwszy raz spotykam się z takim sposobem, także tu pojawia się moje pytanie czy istnieje jakiś inny sposób?

Gdybyś umiał rozwiązać zadanie jakąkolwiek metodą, nie wrzucałbyś go na forum.

[ciach]

Dam ci rade to jest też jeden ze sposobów bardzo podobny:
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)

nijak pisze: ↑15 mar 2023, 23:41 Dam ci rade to jest też jeden ze sposobów bardzo podobny:
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)

Czy przeprowadziłeś te rachunki szczegółowo? Istotnie, ten sposób jest właściwie wariantem metody proponowanej przeze mnie i po wykonaniu obliczeń wychodzi mi tak samo: \(18+3x=x^3\).

Napisałem "bardzo podobny" mogłem dodać, że do poprzednich no ale się domyśliłeś o co mi chodziło

Pozdrawiam

nijak pisze: ↑16 mar 2023, 00:03 Napisałem "bardzo podobny" mogłem dodać, że do poprzednich no ale się domyśliłeś o co mi chodziło

Pozdrawiam

Nie o to mi chodziło. Pytam, w jaki sposób doszedłeś tu do równania \(x^3=27\)? Bo wydaje mi się jednak, że rachunki prowadzą do równania \(18+3x=x^3\), czyli \((x-3)(x^2+3x+6)=0\), czyli to do tego, które wspominam. Natomiast po rozkładzie Twojego równania mamy \((x-3)(x^2+3x+9)=0\). Oba równania są w zbiorze \(\rr\) równoważne, bo mają identyczne zbiory rozwiązań.

Dalsza dyskusja rano. Teraz uciekam spać. Dobrej nocy.

\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\] to \(3^3=27\) i po przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy równanie \(x^3-27=0.\) Już wiesz?

Dobranoc.

Jeszcze aktualizowałem sterownik. Więc tu korzystasz z tego co masz udowodnić. Dochodzisz jedynie do wniosku, że jeśli\[ x=\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80}}\] oraz\[\biggl(\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\]to \(x^3=27,\) więc \(x=3\). Wybacz słowa krytyki.

Oj już tam słowa krytyki nazwij to lekkimi wątpliwościami, które każdy czasami miewa. O to tutaj chodzi żeby mieć "wątpliwość" a nie iść równiuteńko z innymi. Zwoje muszą pracować. Kogokolwiek perspektywa nie musi być jedyną perspektywą.
Miłej nocy, teraz już gaszę sterownik

szw1710 pisze: ↑15 mar 2023, 18:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^2+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).

Panie starszy kolego wydaje mi się, że przy u powinno być do potęgi 3 tak jak v, a nie do drugiej.

Pawm32 pisze: ↑16 mar 2023, 22:07 Panie starszy kolego wydaje mi się, że przy u powinno być do potęgi 3 tak jak v, a nie do drugiej.

Dziękuję za zauważenie omyłki pisarskiej - już poprawiłem.

[ciach]

Zamykam temat, bo merytoryka została wyczerpana.