dowód 2
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
Re: dowód 2
Rozumiem, że tak jest krócej, łatwiej i tak dalej, ale nigdy bym tego tak nie zrobił, a nawet nie pomyślałbym w ten sposób, pierwszy raz spotykam się z takim sposobem, także tu pojawia się moje pytanie czy istnieje jakiś inny sposób?szw1710 pisze: ↑15 mar 2023, 18:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Przyjmij, że \(9+4 \sqrt{5}= \frac{ (\sqrt{5} +3)^3}{8} \), zaś \(9- \sqrt{5}= \frac{ (3-\sqrt{5} )^3}{8} \), po zastosowaniu wzoru na sześcian sumy i różnicy.
Następnie wracamy do obliczeń:
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (\sqrt{5} +3)^3}+ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (3-\sqrt{5} )^3 } =
\frac{\sqrt[3]{ (\sqrt{5} +3)^3}}{ \sqrt[3]{8} }+\frac{ \sqrt[3]{ (3- \sqrt{5})^3 }}{{ \sqrt[3]{8} } }=\\= \frac{ \sqrt{5}+3 }{2} + \frac{3- \sqrt{5} }{2} =3\]
Pozdrawiam
Następnie wracamy do obliczeń:
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (\sqrt{5} +3)^3}+ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (3-\sqrt{5} )^3 } =
\frac{\sqrt[3]{ (\sqrt{5} +3)^3}}{ \sqrt[3]{8} }+\frac{ \sqrt[3]{ (3- \sqrt{5})^3 }}{{ \sqrt[3]{8} } }=\\= \frac{ \sqrt{5}+3 }{2} + \frac{3- \sqrt{5} }{2} =3\]
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 16 mar 2023, 01:03 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: błędy merytoryczne
Powód: Poprawa wiadomości: błędy merytoryczne
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Gdybyś umiał rozwiązać zadanie jakąkolwiek metodą, nie wrzucałbyś go na forum.
[ciach]
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 17:19 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Dam ci rade to jest też jeden ze sposobów bardzo podobny:
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Czy przeprowadziłeś te rachunki szczegółowo? Istotnie, ten sposób jest właściwie wariantem metody proponowanej przeze mnie i po wykonaniu obliczeń wychodzi mi tak samo: \(18+3x=x^3\).
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Napisałem "bardzo podobny" mogłem dodać, że do poprzednich no ale się domyśliłeś o co mi chodziło
Pozdrawiam
![Wink :wink:](./images/smilies/icon_wink.gif)
Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Nie o to mi chodziło. Pytam, w jaki sposób doszedłeś tu do równania \(x^3=27\)? Bo wydaje mi się jednak, że rachunki prowadzą do równania \(18+3x=x^3\), czyli \((x-3)(x^2+3x+6)=0\), czyli to do tego, które wspominam. Natomiast po rozkładzie Twojego równania mamy \((x-3)(x^2+3x+9)=0\). Oba równania są w zbiorze \(\rr\) równoważne, bo mają identyczne zbiory rozwiązań.
Dalsza dyskusja rano. Teraz uciekam spać. Dobrej nocy.
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\] to \(3^3=27\) i po przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy równanie \(x^3-27=0.\) Już wiesz?
Dobranoc.
Dobranoc.
Ostatnio zmieniony 16 mar 2023, 00:30 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: W trybie eksponowanym ([dtex]) przecinek dajemy w środowisku matematycznym, inaczej będzie złożony niepoprawnie.
Powód: W trybie eksponowanym ([dtex]) przecinek dajemy w środowisku matematycznym, inaczej będzie złożony niepoprawnie.
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Jeszcze aktualizowałem sterownik. Więc tu korzystasz z tego co masz udowodnić. Dochodzisz jedynie do wniosku, że jeśli\[ x=\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80}}\] oraz\[\biggl(\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\]to \(x^3=27,\) więc \(x=3\). Wybacz słowa krytyki. ![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Oj już tam słowa krytyki nazwij to lekkimi wątpliwościami, które każdy czasami miewa. O to tutaj chodzi żeby mieć "wątpliwość" a nie iść równiuteńko z innymi. Zwoje muszą pracować. Kogokolwiek perspektywa nie musi być jedyną perspektywą.
Miłej nocy, teraz już gaszę sterownik![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Miłej nocy, teraz już gaszę sterownik
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając
.
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
Re: dowód 2
Panie starszy kolego wydaje mi się, że przy u powinno być do potęgi 3 tak jak v, a nie do drugiej.szw1710 pisze: ↑15 mar 2023, 18:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^2+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
-
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: dowód 2
Dziękuję za zauważenie omyłki pisarskiej - już poprawiłem.
[ciach]
Zamykam temat, bo merytoryka została wyczerpana.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 17:14 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz