dowód 2

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pawm32
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 513
Rejestracja: 01 kwie 2020, 18:51
Podziękowania: 191 razy

dowód 2

Post autor: Pawm32 »

wykaż, że \( \sqrt[3]{9+ \sqrt{80} } +\sqrt[3]{9- \sqrt{80} } =3\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
Pawm32
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 513
Rejestracja: 01 kwie 2020, 18:51
Podziękowania: 191 razy

Re: dowód 2

Post autor: Pawm32 »

szw1710 pisze: 15 mar 2023, 19:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^3+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
Rozumiem, że tak jest krócej, łatwiej i tak dalej, ale nigdy bym tego tak nie zrobił, a nawet nie pomyślałbym w ten sposób, pierwszy raz spotykam się z takim sposobem, także tu pojawia się moje pytanie czy istnieje jakiś inny sposób?
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: nijak »

Przyjmij, że \(9+4 \sqrt{5}= \frac{ (\sqrt{5} +3)^3}{8} \), zaś \(9- \sqrt{5}= \frac{ (3-\sqrt{5} )^3}{8} \), po zastosowaniu wzoru na sześcian sumy i różnicy.
Następnie wracamy do obliczeń:
\[ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (\sqrt{5} +3)^3}+ \sqrt[3]{ \frac{1}{8} \cdot (3-\sqrt{5} )^3 } =
\frac{\sqrt[3]{ (\sqrt{5} +3)^3}}{ \sqrt[3]{8} }+\frac{ \sqrt[3]{ (3- \sqrt{5})^3 }}{{ \sqrt[3]{8} } }=\\= \frac{ \sqrt{5}+3 }{2} + \frac{3- \sqrt{5} }{2} =3\]


Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 16 mar 2023, 02:03 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: błędy merytoryczne
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

Pawm32 pisze: 15 mar 2023, 23:37 Rozumiem, że tak jest krócej, łatwiej i tak dalej, ale nigdy bym tego tak nie zrobił, a nawet nie pomyślałbym w ten sposób, pierwszy raz spotykam się z takim sposobem, także tu pojawia się moje pytanie czy istnieje jakiś inny sposób?
Gdybyś umiał rozwiązać zadanie jakąkolwiek metodą, nie wrzucałbyś go na forum.

[ciach]
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 18:19 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: nijak »

Dam ci rade to jest też jeden ze sposobów bardzo podobny:
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

nijak pisze: 16 mar 2023, 00:41 Dam ci rade to jest też jeden ze sposobów bardzo podobny:
\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)^3=x^3\]
po obliczeniach wiesz, że wynikiem jest liczba \(3\) więc \(3^3=27\) i masz równanie:
\[x^3-27=0\]
jedynym rozwiązaniem jest \(x=3\)
Czy przeprowadziłeś te rachunki szczegółowo? Istotnie, ten sposób jest właściwie wariantem metody proponowanej przeze mnie i po wykonaniu obliczeń wychodzi mi tak samo: \(18+3x=x^3\).
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: nijak »

Napisałem "bardzo podobny" mogłem dodać, że do poprzednich no ale się domyśliłeś o co mi chodziło :wink:

Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

nijak pisze: 16 mar 2023, 01:03 Napisałem "bardzo podobny" mogłem dodać, że do poprzednich no ale się domyśliłeś o co mi chodziło :wink:

Pozdrawiam
Nie o to mi chodziło. Pytam, w jaki sposób doszedłeś tu do równania \(x^3=27\)? Bo wydaje mi się jednak, że rachunki prowadzą do równania \(18+3x=x^3\), czyli \((x-3)(x^2+3x+6)=0\), czyli to do tego, które wspominam. Natomiast po rozkładzie Twojego równania mamy \((x-3)(x^2+3x+9)=0\). Oba równania są w zbiorze \(\rr\) równoważne, bo mają identyczne zbiory rozwiązań.

Dalsza dyskusja rano. Teraz uciekam spać. Dobrej nocy.
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: nijak »

\[\biggl (\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\] to \(3^3=27\) i po przeniesieniu na lewą stronę otrzymujemy równanie \(x^3-27=0.\) Już wiesz?

Dobranoc.
Ostatnio zmieniony 16 mar 2023, 01:30 przez grdv10, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: W trybie eksponowanym ([dtex]) przecinek dajemy w środowisku matematycznym, inaczej będzie złożony niepoprawnie.
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

Jeszcze aktualizowałem sterownik. Więc tu korzystasz z tego co masz udowodnić. Dochodzisz jedynie do wniosku, że jeśli\[ x=\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80}}\] oraz\[\biggl(\sqrt[3]{9+ \sqrt{80} }+ \sqrt[3]{9- \sqrt{80} } \biggr)=3,\]to \(x^3=27,\) więc \(x=3\). Wybacz słowa krytyki. :)
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: nijak »

Oj już tam słowa krytyki nazwij to lekkimi wątpliwościami, które każdy czasami miewa. O to tutaj chodzi żeby mieć "wątpliwość" a nie iść równiuteńko z innymi. Zwoje muszą pracować. Kogokolwiek perspektywa nie musi być jedyną perspektywą.
Miłej nocy, teraz już gaszę sterownik :D
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Pawm32
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 513
Rejestracja: 01 kwie 2020, 18:51
Podziękowania: 191 razy

Re: dowód 2

Post autor: Pawm32 »

szw1710 pisze: 15 mar 2023, 19:41 Niech \(u,v\) będą odpowiednio pierwszym i drugim składnikiem tej sumy o lewej stronie. Oznaczmy też \(x=u+v\). Mamy\[u^2+v^3=18\quad \text{oraz}\quad uv=1.\]Zatem\[x^3=(u+v)^3=(u^3+v^3)+3uv(u+v)=18+3x,\]skąd\[x^3-3x-18=0.\]Po rozkładzie na czynniki:\[(x-3)(x^2+3x+6)=0,\]więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(x=3\).
Panie starszy kolego wydaje mi się, że przy u powinno być do potęgi 3 tak jak v, a nie do drugiej.
grdv10
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1039
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Podziękowania: 9 razy
Otrzymane podziękowania: 388 razy
Płeć:

Re: dowód 2

Post autor: grdv10 »

Pawm32 pisze: 16 mar 2023, 23:07 Panie starszy kolego wydaje mi się, że przy u powinno być do potęgi 3 tak jak v, a nie do drugiej.
Dziękuję za zauważenie omyłki pisarskiej - już poprawiłem.

[ciach]

Zamykam temat, bo merytoryka została wyczerpana.
Ostatnio zmieniony 18 mar 2023, 18:14 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: usunąłem zbędny komentarz