Ciąg geometryczny.

[mosdef21]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n ≥ 1\) , w którym \(a_1 < 0\) . Suma \(S\) wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność \(S ≥ 9a_2 − 3a_1\) . Wykaż, że \(3a_{2023} = 2a_{2022}\) .

[eresh]

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\) określony dla \(n ≥ 1\) , w którym \(a_1 < 0\) . Suma \(S\) wszystkich wyrazów tego ciągu jest skończona i spełnia nierówność \(S ≥ 9a_2 − 3a_1\) . Wykaż, że \(3a_{2023} = 2a_{2022}\) .

\(a_1<0\\
|q|<1\\
S\geq 9a_2-3a_1\\
\frac{a_1}{1-q}\geq 9a_1q-3a_1\\
\frac{1}{1-q}\leq 9q-3\\
\frac{1-(9q-3)(1-q)}{1-q}\leq 0\\
\frac{1-9q+9q^2+3-3q}{1-q}\leq 0\\
(9q^2-12q+4)(1-q)\leq 0\\
(3q-2)^2(1-q)\leq 0\\
q=\frac{2}{3}\)

\(3a_{2023}=3a_{2022}\cdot q=3a_{2022}\cdot\frac{2}{3}=2a_{2022}\)