Zadania z kombinatoryki.

[mosdef21]

1) Liczby ze zbioru \(A = {1 ,2,3,4,5,6}\) ustawiamy w losowy sposób w sześcioelementowy ciąg, przy czym każda liczba ze zbioru \(A\) jest dokładnie jednym wyrazem tego ciągu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn każdych dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu jest liczbą parzystą jeżeli wiadomo, że pierwszy wyraz tego ciągu jest liczbą nieparzystą.

2) Ze zbioru liczb \({1 ,2,3,4,5}\) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem tworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – otrzymana liczba jest cztery razy większa od kwadratu liczby naturalnej.

[eresh]

1) Liczby ze zbioru \(A = {1 ,2,3,4,5,6}\) ustawiamy w losowy sposób w sześcioelementowy ciąg, przy czym każda liczba ze zbioru \(A\) jest dokładnie jednym wyrazem tego ciągu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że iloczyn każdych dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu jest liczbą parzystą jeżeli wiadomo, że pierwszy wyraz tego ciągu jest liczbą nieparzystą.

A - iloczyn parzysty
B - pierwszy wyraz nieparzysty
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\\\)

B= N _ _ _ _ _
\(\overline{\overline{B}}=3\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=3\cdot 5!\)

\(B\cap A:\)

N P N P N P = \(3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=(3!)^2\)
N P P N P N - \(3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=(3!)^2\)
N P N P P N - \(3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1=(3!)^2\)
\(\overline{\overline{A\cap B}}=3\cdot (3!)^2\\\)

\(P(A|B)=\frac{3\cdot 3!\cdot 3!}{3\cdot 5!}\)

[eresh]

2) Ze zbioru liczb \({1 ,2,3,4,5}\) losujemy kolejno trzy razy po jednej liczbie ze zwracaniem tworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – otrzymana liczba jest cztery razy większa od kwadratu liczby naturalnej.

\(\overline{\overline{\Omega}}=5^3\)

\(\Omega=\{111,112,113,...,555\}\\ \)- liczby utworzone jedynie z cyfr \(1,2,3,4,5\)\

\(2^2\cdot 4=16\notin\Omega\\\)
\(3^2\cdot 4\notin\Omega\\
4^2\cdot 4\notin\Omega\\
5^2\cdot 4\notin\Omega\\
6^2\cdot 4=144\\\)
\(7^2\cdot 4=196\notin\Omega\\
8^2\cdot 4=256\notin\Omega\\
9^2\cdot 4=324\\
10^2\cdot 4=400\notin\Omega\\
11^2\cdot 4=484\notin\Omega\\
12^2\cdot 4=576\notin\Omega\\\)

\(A=\{144,324\}\\
\overline{\overline{A}}=2\\
P(A)=\frac{2}{5^3}\)