Geometria analityczna.

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Taotao2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 51
Rejestracja: 09 lut 2023, 21:30
Podziękowania: 46 razy

Geometria analityczna.

Post autor: Taotao2 »

Punkty \(A = (− 2,− 4) \) i \(B = (11,− 2)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC \). Wierzchołek \(C\) tego trójkąta leży na prostej \(y = 2x + 14\) , a dwusieczna kąta \(ACB\) przecina bok \( AB \) w punkcie \(D =(\frac{7}{3}, - \frac{10}{3})\) . Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) trójkąta \( ABC.\)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7434 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: radagast »

Pracochłonne. Plan działania jest taki :
1)policz |AD| i |DB|
2)oznacz C(x,y) czyli C(x,2x+14)
3)policz |AC| i |BC|
4)Z tw o dwusiecznej \( \frac{|AC|}{|BC|}= \frac{|AD|}{|DB|} \) - to jest równanie liniowe z niewiadomą x . Jak się nie pomylisz to masz odpowiedź :)
Taotao2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 51
Rejestracja: 09 lut 2023, 21:30
Podziękowania: 46 razy

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Taotao2 »

Mogłabyś napisać co Ci wyszło w 1) i 2).
maria19
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 351
Rejestracja: 31 maja 2019, 19:32
Podziękowania: 346 razy
Otrzymane podziękowania: 95 razy

Re: Geometria analityczna.

Post autor: maria19 »

janusz55
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1323
Rejestracja: 01 sty 2021, 10:38
Otrzymane podziękowania: 372 razy

Re: Geometria analityczna.

Post autor: janusz55 »

Poglądowy rysunek trójkąta \( ABC \) w prostokątnym układzie współrzędnych zgodny z treścią zadania.

Współrzędne wierzchołków trójkąta:

\( A = (-2, 4), \ \ B = (11, -2), \ \ C = (x, 2x+14).\)

Stosujemy twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta:

" Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki. których stosunek długosci jest równy stosunkowi długości pozostałych boków".

Na podstawie twierdzenia możemy ułożyć proporcję:

\( \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|DB|} \ \ (1) \)

Podnosimy obie strony \( (1) \) do kwadratu, uwzględniamy własność wartości bezwzględnej:

\( \frac{|AC|^2}{|BC|^2} = \frac{|AD|^2}{|DB|^2} \)

Stosując wzór na kwadrat odległości dwóch punktów w prostokątnym układzie współrzędnych mamy:

\( \frac{(x+2)^2 +(2x+18)^2}{(x-11)^2+ (2x+16)^2} = \frac{\left(\frac{7}{3} +2 \right)^2+ \left(-\frac{10}{3}+4 \right)^2}{\left(11 -\frac{7}{3}\right)^2 + \left(-2 +\frac{10}{3} \right)^2}\)

Stosując wzory na sumę i różnicę kwadratu dwumianu mamy:

\(\frac{x^2+4x+4+4x^2+72x+324}{x^2-22x+121+4x^2+64x+256} = \frac{\left(\frac{13}{3}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2}{\left(\frac{26}{3}\right)^2+ \left(\frac{4}{3}\right)^2} \)

Po porządkowaniu wyrazów podobnych i wykonaniu potęg na ułamkach, otrzymujemy

\( \frac{5x^2 +76x +328}{5x^2+42x+377}= \frac{173}{692}= \frac{1}{4}, \ \ 5x^2 +42x +377 >0 \)

Po wymnożeniu na krzyż

\( 5x^2 +262 x +935 = 0. \)

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe na wartość współrzędnej \( x \) wierzchołka \( C \).

Rozwiązaniami są liczby \( x_{1} = -5, \ \ x_{2} = -12\frac{7}{15} \)

Mamy dwa trójkąty spełniające warunki zadania:

\( \Delta ABC :\) o wierzchołkach \( A=(-2,-4), \ \ B = (11,-2), \ \ C= (-5, 4). \)

\( \Delta ABC_{1}: \) o wierzchołkach \( A=(-2,-4), \ \ B = (11,-2), \ \ C_{1} = (-12\frac{7}{15}, -10\frac{14}{15}). \)
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Robakks »

radagast pisze: 06 mar 2023, 23:16 Pracochłonne. Plan działania jest taki :
1)policz |AD| i |DB|
2)oznacz C(x,y) czyli C(x,2x+14)
3)policz |AC| i |BC|
4)Z tw o dwusiecznej \( \frac{|AC|}{|BC|}= \frac{|AD|}{|DB|} \) - to jest równanie liniowe z niewiadomą x . Jak się nie pomylisz to masz odpowiedź :)
Można inaczej

Obliczmy współczynniki kierunkowe prostych
\(AB\) , (jeżeli chcemy wyeliminować przypadek trójkąta zdegenerowanego)
oraz \(BC,CD,AC\)

i teraz

\(\frac{m_{BC} - m_{CD}}{1+m_{BC} \cdot m_{CD}} = \frac{m_{CD} - m_{AC}}{1+m_{CD} \cdot m_{AC}}\)

gdzie \(m_{BC}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty B oraz C
\(m_{CD}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty C oraz D
\(m_{AC}\) jest współczynnikiem kierunkowym prostej przechodzącej przez punkty A oraz C
Doni67
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 30
Rejestracja: 21 lut 2023, 16:39
Podziękowania: 7 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Doni67 »

Rozwiń myśl. Podaj jak to będzie dalej wyglądać.
Co to znaczy "współczynniki kierunkowe prostych \( AB\)".
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Robakks »

Doni
CD jest dwusieczną kąta ACB
więc kąty BCD i DCA będą miały takie same miary
Znając współczynniki kierunkowe odpowiednich prostych możemy policzyć tangensy wyżej wymienionych kątów
Aby uzasadnić wzorek który podałem można wyjść z tego że współczynnik kierunkowy prostej to tangens kąta nachylenia
tej prostej do osi odciętych
Następnie kąt między prostymi będzie równy co do miary różnicy kątów nachylenia tych prostych do osi odciętych
i ze wzoru na tangens różnicy otrzymamy wzorek który tutaj napisałem

W przypadku prostej \(AB\) potrzebujemy tak naprawdę całego równania prostej a nie tylko
współczynnika kierunkowego bo równania prostej \(AB\)
użyjemy do wyeliminowania przypadku trójkąta zdegenerowanego
Jeżeli chodzi o proste \(BC\), \(CD\), \(AC\)
to wystarczą nam współczynniki kierunkowe tych prostych
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: nijak »

Możesz obliczyć to tym sposobem, który podałeś?. Jestem ciekawy tego dosyć nietuzinkowego podejścia :idea:
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Robakks »

\(A=\left(-2,-4\right)\) , \(B= \left( 11,-2\right) \), \(C= \left(p,2p+14 \right) \), \(D = \left(\frac{7}{3},-\frac{10}{3} \right) \)

1. Wyznaczmy równanie prostej \(AB\)
Pozwoli to nam wyeliminować przypadek trójkąta zdegenerowanego

\(y- \left(-2 \right)=\frac{-2- \left(-4 \right) }{11- \left(-2 \right) } \left( x-11\right)\\
y+2 = \frac{2}{13} \left(x-11 \right)
y+2 = \frac{2}{13} x -\frac{22}{13}\\
y = \frac{2}{13} x - \frac{48}{13}\\
\)


2. Obliczmy współczynniki kierunkowe prostych \(BC\) , \(CD\),\(AC\)

\(
m_{BC}=\frac{ \left(2p+14 \right)- \left(-2 \right) }{p - 11}\\
m_{BC} = \frac{2p+16}{p - 11}\\
m_{CD} = \frac{\frac{-10}{3}- \left(2p+14 \right) }{\frac{7}{3}-p}\\
m_{CD} = \frac{6p+52}{3p-7}\\
m_{AC} = \frac{ \left(2p+14 \right) - \left(-4 \right) }{p- \left(-2 \right) }\\
m_{AC} = \frac{2p+18}{p+2}\\
\)


3. Wstawmy obliczone współczynniki kierunkowe do równości
\(\frac{m_{BC} - m_{CD}}{1+m_{BC} \cdot m_{CD}}=\frac{m_{CD}-m_{AC}}{1+m_{CD} \cdot m_{AC}}\)

\( \frac{\frac{2p+16}{p - 11} - \frac{6p+52}{3p-7}}{1 + \frac{2p+16}{p - 11} \cdot \frac{6p+52}{3p-7}} = \frac{\frac{6p+52}{3p-7} - \frac{2p+18}{p+2}}{1 + \frac{6p+52}{3p-7} \cdot \frac{2p+18}{p+2}} \\
\frac{\frac{ \left(2p+16 \right) \left(3p-7 \right) - \left(6p+52 \right) \left(p-11 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right) }}{ \frac{\left(p-11 \right) \left(3p-7 \right)+ \left(2p+16 \right) \left(6p+52 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right) } } = \frac{ \frac{ \left(6p+52 \right) \left(p+2 \right)- \left(2p+18 \right) \left(3p-7 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right) } }{ \frac{\left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)+ \left(6p+52 \right) \left(2p+18 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)} }\\
\frac{ \left(2p+16 \right) \left(3p-7 \right)- \left(6p+52 \right) \left(p-11 \right) }{ \left(p-11 \right) \left(3p-7 \right)+ \left( 2p+16\right) \left(6p+52 \right) } = \frac{ \left(6p+52 \right) \left(p+2 \right)- \left(2p+18 \right) \left(3p-7 \right) }{ \left(3p-7 \right) \left(p+2 \right)+ \left(6p+52 \right) \left(2p+18 \right) }\\
\frac{ \left(6p^2 - 14p+48p -112 \right) - \left(6p^2-66p+52p -572 \right) }{3p^2-7p-33p+77+12p^2+104p+96p+832} = \frac{ \left(6p^2+12p+52p+104 \right) - \left(6p^2-14p+54p-126 \right) }{3p^2+6p-7p-14+12p^2+108p+104p+936} \\
\frac{ \left(6p^2+34p-112 \right)- \left(6p^2-14p-572 \right) }{15p^2+160p+909} = \frac{ \left(6p^2+64p+104 \right) - \left(6p^2+40p-126 \right) }{15p^2+211p+922}\\
\frac{48p+460}{15p^2+160p+909}=\frac{24p+230}{15p^2+211p+922}\\
\frac{48p+460}{15p^2+160p+909} - \frac{24p+230}{15p^2+211p+922} = 0\\
\left(24p+230 \right) \left(\frac{2}{15p^2+160p+909} - \frac{1}{15p^2+211p+922} \right) \\
\left(24p+230 \right) \left(\frac{2 \left(15p^2+211p+922 \right)- \left(15p^2+160p+909 \right) }{ \left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right) } \right)=0 \\
\left(24p+230 \right)\frac{30p^2+422p+1844-15p^2-160p-909}{ \left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right)} = 0\\
\left(24p+230 \right) \frac{15p^2+262p+935}{\left( 15p^2+160p+909\right) \left(15p^2+211p+922 \right)} = 0\\
\left(24p+230 \right) \left(15p^2+262p+935 \right) = 0\\
\Delta = 262^2-4 \cdot 15 \cdot 935\\
\Delta = 68644 - 60 \cdot 935\\
\Delta = 68644 - 300 \cdot 187\\
\Delta = 68644 - 56100\\
\Delta = 12544\\
p_{1,2} = \frac{-262 \mp 112 }{30}\\
p_{1,2} = \frac{-131\mp 56}{15}\\
p_{1} = -\frac{187}{15}\\
p_{2} = -5\\
\)


Dla \(p=-\frac{115}{12}\) trójkąt \(ABC\) jest zdegenerowany
Można to sprawdzić wstawiając obliczone współrzędne punktu C do równania prostej \(AB\)

Dla \(p=-\frac{187}{15}\) punkt C ma współrzędne \(C= \left(-\frac{187}{15},-\frac{164}{15} \right) \)
Dla \(p = -5\) punkt C ma współrzędne \(C = \left(-5,4 \right) \)
Awatar użytkownika
nijak
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 121
Rejestracja: 09 lis 2021, 11:17
Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
Podziękowania: 40 razy
Otrzymane podziękowania: 31 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: nijak »

Ciekawe, trudno wpaść na tę metodę.
Pozdrawiam
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając 👍.

\(e^{i\pi}+1=0\)
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Robakks »

Można by skorzystać z równania ogólnego prostej wtedy nie trzeba byłoby zakładać że równania kierunkowe tych prostych istnieją
Taotao2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 51
Rejestracja: 09 lut 2023, 21:30
Podziękowania: 46 razy

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Taotao2 »

A jak użyć tutaj równania ogólnego prostej?
Robakks
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 149
Rejestracja: 30 wrz 2012, 20:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 13 razy
Płeć:

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Robakks »

@Taotao2
Korzystasz z tego samego pomysłu co podałem tylko
zamiast współczynników kierunkowych prostych \(BC\),\(CD\),\(AC\)
wyznaczasz równania ogólne tych prostych i liczysz tangens kąta między prostymi

Jeżeli prosta \(l_{1}\) ma równanie \(A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)
a prosta \(l_{2}\) ma równanie \(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)
to tangens kąta między prostymi wynosi \(\tan{\varphi} = \frac{A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}\)
Jeżeli mianownik będzie równy zero to proste będą prostopadłe ale tutaj nie powinna zajść taka sytuacja
Można też zamiast tangensa użyć cosinusa
Taotao2
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 51
Rejestracja: 09 lut 2023, 21:30
Podziękowania: 46 razy

Re: Geometria analityczna.

Post autor: Taotao2 »

A napiszesz jak to będzie wyglądać z \(\cos\).