Strona 1 z 1
trójkąt wpisany w okrąg
: 04 mar 2023, 15:16
autor: BarT123oks
W koło o promieniu \( 2\sqrt6\) wpisujemy trójkąt równoboczny, a następnie w ten trójkąt wpisujemy koło itd. Oblicz sumę pól pięciu takich trójkątów.
Re: trójkąt wpisany w okrąg
: 04 mar 2023, 21:54
autor: janusz55
Rysunek.
\( S_{5} = P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5} \)
Trójkąt 1
\( r_{1}= R = 2\sqrt{6},\)
Promień koła opisanego na trójkącie równobocznym:
\( r_{1} = \frac{a_{1}\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6} \)
\( a_{1}= \frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{18}}{3}=\frac{6\cdot 3\sqrt{2}}{3} = 6\sqrt{2}.\)
\( P_{1}= \frac{a^2_{1}\sqrt{3}}{4} = \frac{(6\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}= \frac{72\sqrt{3}}{4}= 18\sqrt{3}.\)
Trójkąt 2
\( r_{2} = \frac{1}{2}r_{1} = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6} = \sqrt{6}.\)
\( r_{2} = \frac{a_{2}\sqrt{3}}{3}= \sqrt{6}\)
\( a_{2} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2}.\)
\( P_{2}= \frac{a^2_{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{(3\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = 4,5\sqrt{3}.\)
Trójkąt 3
........................................................................................................
Ciąg geometryczny pól trójkątów równobocznych o ilorazie \( q = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{4,5\sqrt{3}}{18\sqrt{3}}= \frac{1}{4}.\)
Suma pięciu składników tego ciągu:
\( S_{5} = P_{1}\cdot \frac{1-q^5}{1- q} = \ \ ....\)