Zbieżność szeregu

[enta]

Zbadać zbieżność szeregu \(\sum\limits_{n=1 }^{ \infty } \frac{((-1)^n+2+ \sin (n \frac{ \pi }{2}))^n }{4^{n+1}} \)

[Jerry]

Ja bym to rozbił na cztery szeregi:
\(S_1=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{((-1)^{4k+1}+2+ \sin ((4k+1) \frac{ \pi }{2}))^{4k+1} }{4^{4k+1+1}}=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{(-1+2+ 1)^{4k+1} }{2^{8k+4}}=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty }2^{-4k-3}={2\over15}\)

\(S_2=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{((-1)^{4k+2}+2+ \sin ((4k+2) \frac{ \pi }{2}))^{4k+2} }{4^{4k+2+1}}=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{(1+2+ 0)^{4k+2} }{4^{4k+3}}={1\over16}\cdot\sum\limits_{k=0 }^{ \infty }\left({3\over16}\right)^{4k+2}=\ldots\ \text{ (zbieżny!)}\)

\(S_3=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{((-1)^{4k+3}+2+ \sin ((4k+3) \frac{ \pi }{2}))^{4k+3} }{4^{4k+3+1}}=\sum\limits_{k=0 }^{ \infty } \frac{(-1+2-1)^{4k+3} }{4^{4k+4}}=0\)

\(S_4=\sum\limits_{k=1 }^{ \infty } \frac{((-1)^{4k}+2+ \sin (4k\cdot \frac{ \pi }{2}))^{4k} }{4^{4k+1}}=\sum\limits_{k=1 }^{ \infty } \frac{(1+2+ 0)^{4k} }{4^{4k+1}}={1\over4}\cdot\sum\limits_{k=1 }^{ \infty } \left({3\over4}\right)^{4k}=\ldots\ \text{ (zbieżny!)}\)
i wnioskował... a nawet policzył

Pozdrawiam
PS. Bad-klick bardzo możliwy

[enta]

Czyli jeśli te cztery szeregi są zbieżne to oznacza że wyjściowy szereg jest zbieżny? Bo nie bardzo rozumiem

[Tulio]

Tak, w drugą stronę implikacja nie musi zachodzić.

[enta]

A jak się liczy te sumy? Możecie mi chociaż jedna rozpisać? Z góry dziękuję

[Tulio]

Te sumy to szereg geometryczny. Jest na nie po prostu wzór.

[enta]

A dlaczego rozbijamy na 4 szeregi i podstawiamy akurat 4k+1 itd?

[Jerry]

A dlaczego rozbijamy na 4 szeregi i podstawiamy akurat 4k+1 itd?

To jest mój pomysł na rozstrzygnięcie tego problemu, nie twierdzę, że najlepszy...

• zauważyłem, że wybierając co czwarty wyraz danego ciągu tworzą się podciągi, w których składnik z sinusem zachowuje się tak samo, i daje się dosyć łatwo znaleźć ich sumy,
• \(\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=\\=(a_1+a_5+a_9+...)+(a_2+a_6+a_{10}+...)+(a_3+a_7+a_{11}+...)+(a_4+a_8+a_{12}+...)\)

Pozdrawiam