monotoniczność ciągu

[BarT123oks]

Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_n=\frac{3n^2+4n+1}{4n^2+5n+1}\), gdzie n jest dowolną liczbą naturalną dodatnią

[zaba123]

Wiesz w ogóle jak badamy monotoniczność? Jeśli tak, to gdzie jest problem?

[eresh]

Zbadaj monotoniczność ciągu \(a_n=\frac{3n^2+4n+1}{4n^2+5n+1}\), gdzie n jest dowolną liczbą naturalną dodatnią

Rozwiązanie:

Spoiler

\(a_{n+1}=\frac{3(n+1)^2+4(n+1)+1}{4(n+1)^2+5(n+1)+1}=\frac{3n^2+10n+8}{(4n^2+13n+10}\\
a_{n+1}-a_n=\frac{(3n+4)(n+2)}{(4n+5)(n+2)}-\frac{(3n+1)(n+1)}{4n+1)(n+1)}=\frac{3n+4}{4n+5}-\frac{3n+1}{4n+1}=\frac{-1}{(4n+5)(4n+1)}<0\)
ciąg jest malejący