Rozwiązać równanie.

[Doni67]

\[8^x+4^x+2^x=12\]

[Jerry]

Niech \(2^x=t>0\). Wtedy równanie przyjmie postać:
\(t^3+t^2+t-12=0\)
Wielomian lewej strony jest rosnący, czyli różnowartościowy, posiada jeden pierwiastek rzeczywisty, ale niewymierny... Pozostaje posłużyć się wzorami Cardano

Pozdrawiam
PS. W oryginale nie było \(8^x+4^x+2^x=14\)

[grdv10]

Niech \(2^x=t>0\). dostajemy \(t^3+t^2+t-12=0\), ale to równanie nie ma rozwiązań wymiernych. Funkcja \(f(x)=8^x+4^x+2^x-12\) jest rosnąca i ciągła, \(f(0)<0\), \(f(1)>0\), więc nasze równanie ma w dokładnie jedno rozwiązanie, które leży w przedziale \((0,1)\).

[Doni67]

Przepraszam masz rację w treści zadania jest 14.

[Jerry]

To jedynym rozwiązaniem danego równania jest \(x=1\) - uzasadnienie w naszych, moim i szw1710, postach

Pozdrawiam

[Doni67]

Mnie wyszło co innego w tym przypadku dla \(14\) :
\[(2^3)^x+(2^2)^x+(2)^x=14\]
\[(2^x)^3+(2^x)^2+(2^x)-14=0\]
Niech \(t=2^x\) więc:
\[t^3+t^2+t-14=0\]
Pierwiastkiem jest \(2\) czyli po rozłożeniu:
\[(t-2)(t^2+3t+7)=0\]
\[t^2+3t+7=0\]
\[t= \frac{-3 \pm \sqrt{-19} }{2} = \frac{-3 \pm i \sqrt{19} }{2} \]
Oczywiście mamy rozwiązanie całkowite czyli \(x=1\) ale mamy też to \(\log_2(2^x)=\log_2( \frac{-3 \pm i \sqrt{19} }{2} )\) więc \(x=\log_2(\frac{-3 \pm i\sqrt{19} }{2})\).

[grdv10]

A umiesz logarytmować liczby zespolone? To już trudniejszy temat, gdyż tam logarytm nie jest jednoznaczny. Proponuję jednak ograniczyć się do rozwiązań rzeczywistych. Jedynym jest jedynka.

[Doni67]

Jeśli potrafisz to logarytmować to proszę napisz bo jestem ciekawy?

[grdv10]

Przeczytaj sobie:

https://www.wikiwand.com/pl/Logarytm#Lo ... zespolonej

Matematyka na Wikipedii jest dobrze opracowana.

[Doni67]

Czyli wychodzi mi że są to trzy rozwiązania, które przedstawiają się następująco:
\(1. \ x= \frac{i(2\pi n-i\log(2))}{log(2)} \)
\(2. \ x= \frac{i(2\pi n-i\log( \frac{1}{2} (-3 \pm i \sqrt{19} )}{\log(2)} \)
Odpisz czy jest to dobrze. Jeśli wiesz jak to zrobić bo nieodpisałeś, że wiesz.

Pozdrawiam

[grdv10]

W punkcie 1 wydziwiasz, tam jest rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\) i logarytm jest jednoznaczny. W punkcie 2 do niczego. Przeczytaj jeszcze raz definicję logarytmu zespolonego.

Jeśli wiesz jak to zrobić bo nieodpisałeś, że wiesz.

Ta uwaga jest nie na miejscu.

[Doni67]

Dobrze, jeśli wiesz lepiej to napisz prawidłową odpowiedź i nie uważaj się za matematyka z medalem Fieldsa. Wynika stąd, że widocznie nie wiesz sam jak to zrobić. Spójrz tutaj i powiedz skąd to wynika. Nie lubisz raczej kwestionowania i zwykłych pytań. Matematyka na tym polega

Pozdrawiam

[Jerry]

... nie uważaj się za matematyka z medalem Fieldsa. ...

Przekraczasz zasady netykiety obowiązujące na naszym forum!
Ostrzegam!

PS. Wątek zmierza w nieodpowiednią stronę - zamykam!