dowód własności

[xenoneq_o0]

Udowodnij, że w dowolnym trójkącie zachodzi własność \(h_a \le \sqrt{p(p-a)}\)

[Tulio]

Przyjmuję, że chodzi o \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Obliczmy \(h_a\) z własności pól:
\(P= \sqrt{p \left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) } \), \(P=\frac{1}{2}a\cdot h_a\)
Stąd: \(h_a=\frac{2P}{a}=\frac{2 \sqrt{p \left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }}{a}\)
wrzucamy \(2= \sqrt{4}, a= \sqrt{a^2}\) pod pierwiastek pozostawiając w spokoju \(p \left(p-a \right) \):
\(h_a= \sqrt{4p \left( p-a\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} = \sqrt{p \left(p-a \right)} \cdot \sqrt{4 \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} \)
Wystarczy udowodnić, że:
\(\sqrt{4 \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} \le 1\)
czyli, że:
\(\left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right) \le \frac{1}{4}\)
Lewa strona:
\(\left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right) = \left( \frac{a+b+c}{2a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{a+b+c}{2a} - \frac{c}{a}\right) = \left( \frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a} - \frac{2b}{2a}\right) \left( \frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a} - \frac{2c}{2a}\right) = \)
\( = \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2a} + \frac{c}{2a}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{b}{2a} - \frac{c}{2a} \right) = \frac{1}{4} - \left( \frac{b}{2a} - \frac{c}{2a} \right)^2 \le \frac{1}{4} \)
∎

[xenoneq_o0]

Przyjmuję, że chodzi o \(p=\frac{a+b+c}{2}\). Obliczmy \(h_a\) z własności pól:
\(P= \sqrt{p \left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) } \), \(P=\frac{1}{2}a\cdot h_a\)
Stąd: \(h_a=\frac{2P}{a}=\frac{2 \sqrt{p \left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }}{a}\)
wrzucamy \(2= \sqrt{4}, a= \sqrt{a^2}\) pod pierwiastek pozostawiając w spokoju \(p \left(p-a \right) \):
\(h_a= \sqrt{4p \left( p-a\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} = \sqrt{p \left(p-a \right)} \cdot \sqrt{4 \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} \)
Wystarczy udowodnić, że:
\(\sqrt{4 \left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right)} \le 1\)
czyli, że:
\(\left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right) \le \frac{1}{4}\)
Lewa strona:
\(\left( \frac{p}{a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{p}{a} - \frac{c}{a}\right) = \left( \frac{a+b+c}{2a} - \frac{b}{a}\right) \left( \frac{a+b+c}{2a} - \frac{c}{a}\right) = \left( \frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a} - \frac{2b}{2a}\right) \left( \frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a} - \frac{2c}{2a}\right) = \)
\( = \left( \frac{1}{2} - \frac{b}{2a} + \frac{c}{2a}\right) \left(\frac{1}{2} + \frac{b}{2a} - \frac{c}{2a} \right) = \frac{1}{4} - \left( \frac{b}{2a} - \frac{c}{2a} \right)^2 \le \frac{1}{4} \)
∎

Już nie dodawałem, ale tak, miałem na myśli takie oznaczenia jakie podałeś. Swoją drogą ciekawe rozwiązanie