Rozkład różnicy n'tej potęgi i jedności

[taimen]

Witam, czy mógłby ktoś łopatologicznie wyjaśnić skąd wynika takie przekształcenie?
\(8^n−1=(8−1)(8^{n−1}+8^{n−2}+...+8+1)\)

Pozdrawiam

[Tulio]

Bierze się to bezpośrednio ze wzoru:
\(a^n-b^n = \left( a-b\right)\cdot \left( a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1} \right) \)
co dla \(b=1\) oznacza:
\(a^n-1 = \left( a-1\right)\cdot \left( a^{n-1} + a^{n-2} + a^{n-3} + \ldots + a^2 + a + 1 \right)\)
gdzie u Ciebie \(a=8\)
Wzór ten zaś jest udowodniony (przykładowe dowody)

Natomiast zobrazować go sobie (szczególnie dla \(b=1\)) można łatwo wypisując samemu pierwsze kilka wyrazów ciągu \(a^n-1\):
\(a^2-1 = \left( a-1 \right) \left(a+1 \right) \)
\(a^3-1 = \left( a-1 \right) \left(a^2+a+1 \right) \)
\(a^4-1 = \left( a-1 \right) \left(a^3+a^2+a+1 \right) \)
i można zauważyć regułę, którą zastosowano (tylko dla \(a=8\)).