dowód
: 12 lut 2023, 19:28
Udowodnij, że pole trójkąta ograniczonego asymptotami hiperboli \(xy=k^{2}\) , gdzie \( (k\neq 0)\) oraz styczną w punkcie \(P(x_0,y_0)\) do tej hiperboli, nie zależy od wyboru punktu \(P\)
Zacząłem od tego, że pewnie trzeba wyznaczyć równanie stycznej do hiperboli więc
\( f'(x_0)=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}}\), ale \(y=f'(x_0)x+b\) więc musimy wyznaczyć jeszcze \(b\) podstawiając współrzędne jednego z punktów należącego do hiperboli do podanego u góry równania
stąd \(\frac{k^{2}}{x_o}=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}} x_0+b\), czyli \(b=\frac{2k^{2}}{x_0}\), zatem styczna \( y=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}}x+\frac{2k^{2}}{x_0}\)
Na tym się zatrzymałem
Zacząłem od tego, że pewnie trzeba wyznaczyć równanie stycznej do hiperboli więc
\( f'(x_0)=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}}\), ale \(y=f'(x_0)x+b\) więc musimy wyznaczyć jeszcze \(b\) podstawiając współrzędne jednego z punktów należącego do hiperboli do podanego u góry równania
stąd \(\frac{k^{2}}{x_o}=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}} x_0+b\), czyli \(b=\frac{2k^{2}}{x_0}\), zatem styczna \( y=\frac{-k^{2}}{x_0^{2}}x+\frac{2k^{2}}{x_0}\)
Na tym się zatrzymałem