Oblicz

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
avleyi
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 252
Rejestracja: 15 maja 2022, 13:41
Podziękowania: 302 razy
Otrzymane podziękowania: 1 raz
Płeć:

Oblicz

Post autor: avleyi »

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym miara kąta przy wierzchołku \(C\) jest równa \(90^\circ \) i \(|AC|>|BC|\). Środek okręgu stycznego do boku \(BC\) w punkcie \(E\) i do boku \(AC\) w punkcie \(P\) leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją na odcinki długości \(15\) i \(20\).
a) Oblicz długość promienia tego okręgu.
b) Proste \(AB\) i \(DE\) przecinają się w punkcie \(P\), oblicz długość odcinka \(PB\) i \(PE\).
Ostatnio zmieniony 12 lut 2023, 19:05 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Awatar użytkownika
Jerry
Expert
Expert
Posty: 3399
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 49 razy
Otrzymane podziękowania: 1862 razy

Re: Oblicz

Post autor: Jerry »

Zmieniłem treść zadania na robialną ...
avleyi pisze: 12 lut 2023, 14:22 ... do boku |AC| w punkcie D ...
  1. Zrób schludny rysunek, niech \(Q\) będzie środkiem okręgu, \(r>0\) jego promieniem , \(\alpha\) miarą kąta \(CAB\)
  2. \(|\angle EQB|=\alpha\)
  3. Z \( \Delta AQD: \sin\alpha={r\over20}\), z \( \Delta QBE: \cos\alpha={r\over15}\)
  4. Wobec jedynki trygonometrycznej mamy: \(\left({r\over20}\right)^2+\left({r\over15}\right)^2=1\iff r=12\)
  5. Z \(\Delta QBE: |EB|=\sqrt{15^2-12^2}=9\)
  6. Z \(\Delta QED: |DE|=12\sqrt2\)
  7. \(\Delta DQP\sim\Delta BPE\, (kk):\,
    \frac{12}{15+|BP|}=\frac{9}{|BP|} \wedge \frac{12}{12\sqrt2+|EP|}=\frac{9}{|EP|}\)
skąd ostateczna odpowiedź

Pozdrawiam