Potrzebuję pomocy w zadanku
\((\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2})^{2023}\)
Liczby zespolone - zamiana postaci trygonometrycznej na algebraiczną
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
agatakoss1
- Rozkręcam się
- Posty: 42
- Rejestracja: 26 mar 2020, 11:14
- Podziękowania: 24 razy
-
Tulio
- Często tu bywam
- Posty: 210
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 53 razy
- Płeć:
Re: Liczby zespolone - zamiana postaci trygonometrycznej na algebraiczną
Chyba algebraicznej na trygonometryczną (temat).
Podstawę przekształcamy w postać trygonometryczną \(z=a+bi = \left| z \right| \left( \cos \theta + i\cdot \sin \theta \right) \):
\(\left| z \right| = \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^2 + \left( \frac{-1}{2} \right)^2 } =1 \)
oraz:
\( \begin{cases} \cos \theta = \frac{a}{\left| z \right|} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin \theta = \frac{b}{\left| z \right|} = \frac{-1}{2} \end{cases} \)
tę sytuację mamy tylko dla \(\theta = \frac{11\pi}{6}, \theta \in \left[ 0;2\pi \right) \)
stąd:
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{2023} = \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{11\pi}{6} \right)^{2023} \)
ze wzoru de Moivre'a:
\(\left( \cos \frac{11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{11\pi}{6} \right)^{2023} = \cos \frac{2023 \cdot 11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{2023 \cdot 11\pi}{6} = \cos \frac{5\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{5\pi}{6} = - \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2}\cdot \)
Podstawę przekształcamy w postać trygonometryczną \(z=a+bi = \left| z \right| \left( \cos \theta + i\cdot \sin \theta \right) \):
\(\left| z \right| = \sqrt{ \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^2 + \left( \frac{-1}{2} \right)^2 } =1 \)
oraz:
\( \begin{cases} \cos \theta = \frac{a}{\left| z \right|} = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \sin \theta = \frac{b}{\left| z \right|} = \frac{-1}{2} \end{cases} \)
tę sytuację mamy tylko dla \(\theta = \frac{11\pi}{6}, \theta \in \left[ 0;2\pi \right) \)
stąd:
\(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)^{2023} = \left( \cos \frac{11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{11\pi}{6} \right)^{2023} \)
ze wzoru de Moivre'a:
\(\left( \cos \frac{11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{11\pi}{6} \right)^{2023} = \cos \frac{2023 \cdot 11\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{2023 \cdot 11\pi}{6} = \cos \frac{5\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{5\pi}{6} = - \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{i}{2}\cdot \)