forum.zadania.info

Udowodnij, że w dowolnym trójkącie nieprostokątnym zachodzi równość \( \frac{\ctg \alpha}{\ctg\beta}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} \)

Przy standardowych oznaczeniach mamy:
\( 1^o \) Z twierdzenia sinusów: \( \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{a}{ \sin (\alpha)} \So \sin(\beta) = \frac{b}{a} \sin(\alpha) \)
\( 2^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\( 3^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta) \)
\( L = \ldots = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)} = \ldots = P \)
Kropki to proste przekształcenia algebraiczne.

Icanseepeace pisze: ↑07 lut 2023, 18:21 Przy standardowych oznaczeniach mamy:
\( 1^o \) Z twierdzenia sinusów: \( \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{a}{ \sin (\alpha)} \So \sin(\beta) = \frac{b}{a} \sin(\alpha) \)
\( 2^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\( 3^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta) \)
\( L = \ldots = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)} = \ldots = P \)
Kropki to proste przekształcenia algebraiczne.

Już rozumiem dzięki wielkie

Mógłbyś to lepiej rozpisać?

nijak pisze: ↑07 lut 2023, 19:53 Mógłbyś to lepiej rozpisać?

\( \frac{\ctg \alpha}{\ctg\beta}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}= \ldots \)
i tu podstawiasz \(\sin(\beta)\), \(\cos(\beta)\) i \(\cos(\alpha)\) które kolega u góry wyznaczył

No to ile jest równy \( \cos( \alpha ) \ i \ \cos( \beta )\)?

\(a^2=b^2+c^2−2bc⋅\cos{\alpha}\)
\(a^2-b^2-c^2=−2bc⋅\cos{\alpha}\)
\(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}=\cos{\alpha}\)

nijak pisze: ↑07 lut 2023, 19:53 Mógłbyś to lepiej rozpisać?

Po monicie na PW, trochę inaczej:
\(2^\circ\ a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha)\iff b^2 + c^2 -a^2=2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\(3^\circ\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot\cos(\beta)\iff a^2 + c^2 - b^2=2ac \cdot \cos(\beta)\)
i wstawiasz do prawej strony dowodzonej równości:
\(P_R=\frac{2bc \cdot \cos( \alpha)}{2ac \cdot \cos(\beta)}=\frac{b}{a}\cdot\frac{\cos( \alpha)}{\cos(\beta)}\)
Wykorzystaj dodatkowo \(1^\circ : {b\over a}=\frac{\sin(\beta)}{\sin( \alpha)}\) i do końca dowodu blisko...

Pozdrawiam
PS. Icanseepeace: cieszę się widząc Twój post po dłuuugiej pauzie