Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Dowód
Udowodnij, że w dowolnym trójkącie nieprostokątnym zachodzi równość \( \frac{\ctg \alpha}{\ctg\beta}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}} \)
-
- Stały bywalec
- Posty: 437
- Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
- Podziękowania: 6 razy
- Otrzymane podziękowania: 253 razy
- Płeć:
Re: Dowód
Przy standardowych oznaczeniach mamy:
\( 1^o \) Z twierdzenia sinusów: \( \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{a}{ \sin (\alpha)} \So \sin(\beta) = \frac{b}{a} \sin(\alpha) \)
\( 2^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\( 3^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta) \)
\( L = \ldots = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)} = \ldots = P \)
Kropki to proste przekształcenia algebraiczne.
\( 1^o \) Z twierdzenia sinusów: \( \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{a}{ \sin (\alpha)} \So \sin(\beta) = \frac{b}{a} \sin(\alpha) \)
\( 2^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\( 3^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta) \)
\( L = \ldots = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)} = \ldots = P \)
Kropki to proste przekształcenia algebraiczne.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
Re: Dowód
Już rozumiem dzięki wielkieIcanseepeace pisze: ↑07 lut 2023, 18:21 Przy standardowych oznaczeniach mamy:
\( 1^o \) Z twierdzenia sinusów: \( \frac{b}{ \sin (\beta)} = \frac{a}{ \sin (\alpha)} \So \sin(\beta) = \frac{b}{a} \sin(\alpha) \)
\( 2^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\( 3^o \) Z twierdzenia cosinusów: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(\beta) \)
\( L = \ldots = \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)} = \ldots = P \)
Kropki to proste przekształcenia algebraiczne.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 82
- Rejestracja: 26 kwie 2021, 14:36
- Podziękowania: 26 razy
- Płeć:
- nijak
- Czasem tu bywam
- Posty: 121
- Rejestracja: 09 lis 2021, 10:17
- Lokalizacja: 53°7'24"N 23°5'11"E
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 31 razy
- Płeć:
Re: Dowód
No to ile jest równy \( \cos( \alpha ) \ i \ \cos( \beta )\)?
Jeśli doceniasz pracę autora tego rozwiązania, to podziękuj mu zostawiając .
\(e^{i\pi}+1=0\)
\(e^{i\pi}+1=0\)
- Jerry
- Expert
- Posty: 3550
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1954 razy
Re: Dowód
Po monicie na PW, trochę inaczej:
\(2^\circ\ a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos( \alpha)\iff b^2 + c^2 -a^2=2bc \cdot \cos( \alpha) \)
\(3^\circ\ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot\cos(\beta)\iff a^2 + c^2 - b^2=2ac \cdot \cos(\beta)\)
i wstawiasz do prawej strony dowodzonej równości:
\(P_R=\frac{2bc \cdot \cos( \alpha)}{2ac \cdot \cos(\beta)}=\frac{b}{a}\cdot\frac{\cos( \alpha)}{\cos(\beta)}\)
Wykorzystaj dodatkowo \(1^\circ : {b\over a}=\frac{\sin(\beta)}{\sin( \alpha)}\) i do końca dowodu blisko...
Pozdrawiam
PS. Icanseepeace: cieszę się widząc Twój post po dłuuugiej pauzie