forum.zadania.info

Potrzebuję pomocy w zadanku:

Niech L będzie zorientowanym dodatnio brzegiem trójkąta wyznaczonym przez krzywe \(y=|x|\) i \(y=1\). Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną

\(\int y(1-3x^2)dx+x(1+y^2)dy\)


Będę wdzięczna za pomoc lub podpowiedź.

(warto mnie sprawdzić, bo dawno takich całek nie rozwiązywałem)

Naszą łamaną i (obszarem całki podwójnej) jest:
\(D= \left[ -y, y\right] \times \left[ 0, 1\right] \)
Z twierdzenia Greena:
\(\int y(1-3x^2)dx+x(1+y^2)dy = \int \int_{D}^{} \left( 1+y^2\right) - \left( 1-3x^2\right) dxdy = \int \int_{D}^{} 3x^2+y^2 dxdy =\)
zamieniamy na całkę iterowaną:
\( \int_{0}^{1} dy \int_{-y}^{y} 3x^2+y^2 dx = \int_{0}^{1} \left[ 3\cdot \frac{x^3}{3} + y^2x \right]_{-y}^{y} dy = \int_{0}^{1} y^3+y^3- \left( -y^3-y^3\right) dy = \\ \quad=4\cdot \int_{0}^{1} y^3 dy = 4\cdot \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1\)