Potrzebuję pomocy w zadanku:
Niech L będzie zorientowanym dodatnio brzegiem trójkąta wyznaczonym przez krzywe \(y=|x|\) i \(y=1\). Oblicz całkę krzywoliniową skierowaną
\(\int y(1-3x^2)dx+x(1+y^2)dy\)
Będę wdzięczna za pomoc lub podpowiedź.
Całka krzywoliniowa skierowana
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 42
- Rejestracja: 26 mar 2020, 11:14
- Podziękowania: 24 razy
Całka krzywoliniowa skierowana
Ostatnio zmieniony 07 lut 2023, 14:29 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
Powód: Poprawa wiadomości; cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]
-
- Często tu bywam
- Posty: 212
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 16 razy
- Otrzymane podziękowania: 54 razy
- Płeć:
Re: Całka krzywoliniowa skierowana
(warto mnie sprawdzić, bo dawno takich całek nie rozwiązywałem)
Naszą łamaną i (obszarem całki podwójnej) jest:
\(D= \left[ -y, y\right] \times \left[ 0, 1\right] \)
Z twierdzenia Greena:
\(\int y(1-3x^2)dx+x(1+y^2)dy = \int \int_{D}^{} \left( 1+y^2\right) - \left( 1-3x^2\right) dxdy = \int \int_{D}^{} 3x^2+y^2 dxdy =\)
zamieniamy na całkę iterowaną:
\( \int_{0}^{1} dy \int_{-y}^{y} 3x^2+y^2 dx = \int_{0}^{1} \left[ 3\cdot \frac{x^3}{3} + y^2x \right]_{-y}^{y} dy = \int_{0}^{1} y^3+y^3- \left( -y^3-y^3\right) dy = \\ \quad=4\cdot \int_{0}^{1} y^3 dy = 4\cdot \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1\)
Naszą łamaną i (obszarem całki podwójnej) jest:
\(D= \left[ -y, y\right] \times \left[ 0, 1\right] \)
Z twierdzenia Greena:
\(\int y(1-3x^2)dx+x(1+y^2)dy = \int \int_{D}^{} \left( 1+y^2\right) - \left( 1-3x^2\right) dxdy = \int \int_{D}^{} 3x^2+y^2 dxdy =\)
zamieniamy na całkę iterowaną:
\( \int_{0}^{1} dy \int_{-y}^{y} 3x^2+y^2 dx = \int_{0}^{1} \left[ 3\cdot \frac{x^3}{3} + y^2x \right]_{-y}^{y} dy = \int_{0}^{1} y^3+y^3- \left( -y^3-y^3\right) dy = \\ \quad=4\cdot \int_{0}^{1} y^3 dy = 4\cdot \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{1} = 1\)
Ostatnio zmieniony 08 lut 2023, 00:30 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa kodu: \\\ \quad
Powód: Poprawa kodu: \\\ \quad