Zbadaj ciągłość funkcji

[Sway22]

Zbadaj ciągłość funkcji

\( f(x) = \begin{cases} \frac{ \sin x}{3x - \sin x} dla x \neq 0 \\
\frac{1}{2} dla x = 0 \end{cases} \)

w każdym punkcie dziedziny.



Zrobiłam dla 0 (o ile jest dobrze):
\( \Lim_{x\to 0^+} \frac{ \sin x}{3x - \sin x} = \left[ \frac{0}{0} \right]^H = \Lim_{x\to 0^+} \frac{ \cos x}{3 - \cos x} = \frac{1}{2} \\
\Lim_{x\to 0^-} \frac{ \sin x}{3x - \sin x} = \left[ \frac{0}{0} \right]^H = \Lim_{x\to 0^-} \frac{ \cos x}{3 - \cos x} = \frac{1}{2} \\ \)
Z czego wynika, że f(x) jest ciągła w punkcie x=0.

Ale jak sprawdzić dla wszystkich innych punktów dziedziny?

[grdv10]

Najpierw wykluczamy miejsca zerowe mianownika. Łatwo sprawdzić, że mianownik ma jedyne miejsce zerowe w zerze. W każdym z przedziałów \((-\infty,0)\) oraz \((0,\infty)\) funkcja jest ilorazem funkcji ciągłych, jest więc ciągła.