Zad. Obliczyć granice funkcji stostująć regułę de 'I Hospitala:
\( \Lim_{x\to 0+ } (\ctg x)^{\sin x} \)
Skorzystałam z tego:
\(\ctg x= \frac{\cos x}{\sin x} \)
\( \Lim_{x\to 0+ } \frac{(\cos x)^{\sin x} } {(\sin x)^{\sin x} } =\) \([\frac{0}{0}] \) - HP
\( \Lim_{x\to0+ } \frac{cox^{sinx}*ln(cosx)*cosx}{sinx^{sinx}*ln(sinx)*cosx} = [\frac{0}{0}] \) - cosx się skróciły
\( \Lim_{x\to 0+ } \frac{cox^{sinx}*ln(cosx)*cosx*ln(cosx)-cosx^{sinx}*cosx^{-1}*sinx}{sinx^{sinx}*ln(sinx)*cosx*ln(sinx)+sinx^{sinx}*sinx^{-1}*cosx} = [ \frac{0}{0}] \)
- ale co dalej ? jak czy robię coś żle bo wydaje mi się że tym do niczego nie dojdę..
Oblicz granice funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Tulio
- Często tu bywam
- Posty: 222
- Rejestracja: 29 paź 2010, 12:44
- Podziękowania: 18 razy
- Otrzymane podziękowania: 57 razy
- Płeć:
Re: Oblicz granice funkcji
Dlaczego:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x^{\sin x} } {\sin x^{\sin x} } = [\frac{0}{0}] \) - HP ?
przecież w liczniku masz \(1^0\) co definitywnie daje \(1\), a problemem jest, że w mianowniku masz \(0^0\). Nie możesz (jeszcze) skorzystać z reguły de l'Hospitala.
Obliczmy więc granicę \( \Lim_{x\to 0+ } \sin x^{\sin x}\), co zapisujemy:
\( \Lim_{x\to 0^+ } e^{ \ln \sin x^{\sin x}} = \Lim_{x\to 0^+ } e^{\sin x \ln \sin x}\)
i znów potrzebujemy granicy wykładnika:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \sin x \ln \left( \sin x\right)\)
ta granica jest postaci \(0 \cdot \infty\) co już jest w miarę dobre. Zamieniamy na \( \frac{\infty}{\infty} \):
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\ln \left( \sin x\right)}{ \frac{1}{\sin x} } \)
i tu dopiero możemy użyć reguły de l'Hospitala:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\ln \left( \sin x\right)}{ \frac{1}{\sin x} } = \Lim_{x\to 0^+ } \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{ \frac{-\cos x}{\sin^2 x} } = \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{-\cos x} = \Lim_{x\to 0^+ } - \sin x = 0^-\)
Zatem:
\( \Lim_{x\to 0^+ } e^{ \ln \sin x^{\sin x}} = \Lim_{x\to 0^+ } e^{\sin x \ln \sin x} = e^0 = 1\)
czyli:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \sin x^{\sin x} = 1\)
i ostatecznie:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x^{\sin x} } {\sin x^{\sin x} } = \frac{1^0}{1} = 1\)
Jeśli nic nie pomyliłem.
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x^{\sin x} } {\sin x^{\sin x} } = [\frac{0}{0}] \) - HP ?
przecież w liczniku masz \(1^0\) co definitywnie daje \(1\), a problemem jest, że w mianowniku masz \(0^0\). Nie możesz (jeszcze) skorzystać z reguły de l'Hospitala.
Obliczmy więc granicę \( \Lim_{x\to 0+ } \sin x^{\sin x}\), co zapisujemy:
\( \Lim_{x\to 0^+ } e^{ \ln \sin x^{\sin x}} = \Lim_{x\to 0^+ } e^{\sin x \ln \sin x}\)
i znów potrzebujemy granicy wykładnika:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \sin x \ln \left( \sin x\right)\)
ta granica jest postaci \(0 \cdot \infty\) co już jest w miarę dobre. Zamieniamy na \( \frac{\infty}{\infty} \):
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\ln \left( \sin x\right)}{ \frac{1}{\sin x} } \)
i tu dopiero możemy użyć reguły de l'Hospitala:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\ln \left( \sin x\right)}{ \frac{1}{\sin x} } = \Lim_{x\to 0^+ } \frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{ \frac{-\cos x}{\sin^2 x} } = \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\sin^2 x}{-\cos x} = \Lim_{x\to 0^+ } - \sin x = 0^-\)
Zatem:
\( \Lim_{x\to 0^+ } e^{ \ln \sin x^{\sin x}} = \Lim_{x\to 0^+ } e^{\sin x \ln \sin x} = e^0 = 1\)
czyli:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \sin x^{\sin x} = 1\)
i ostatecznie:
\( \Lim_{x\to 0^+ } \frac{\cos x^{\sin x} } {\sin x^{\sin x} } = \frac{1^0}{1} = 1\)
Jeśli nic nie pomyliłem.
Ostatnio zmieniony 01 lut 2023, 00:15 przez Tulio, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Jerry
- Expert
- Posty: 3540
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1946 razy
Re: Oblicz granice funkcji
\(\ldots =\left[\frac{1^0}{e^0}\right]=1\)
bo
\(-\Lim_{x\to 0+ }\sin x\ln \sin x=\Lim_{x\to 0+ }\dfrac{\ln \sin x}{-\sin^{-1}x}=\left[{-\infty\over-\infty}\right]\nad{H}{=}\Lim_{x\to 0+ }\dfrac{\sin^{-1} x\cos x}{\sin^{-2}x\cos x}=\Lim_{x\to 0+ }\sin x=0\)
Pozdrawiam
[edited]
Nie pomyliłeś
Wolno mi się pisze na tablecie 