forum.zadania.info

1) Wyznaczyć rzut k prostej l : x = y = 0 na płaszczyznę π zawierającą punkty A(1, 0, 1), B(1, 1, 0), C(0, 1, 1).
2) Obliczyć odległość pomiędzy prostą k : x = y = 1 oraz prostą l przechodzącą przez punkty A(1, 0, 0) oraz B(0, 1, 1).

Nie bardzo rozumiem o co chodzi z tym przedstawieniem prostej, byłbym wdzięczny za wytłumaczenie.

1. Łatwo zauważyć, że płaszczyzna \(ABC\) ma równanie \(x+y+z=2\). Wskazana prosta jest po prostu osią \(z\). Tak więc punt wspólny prostej i płaszczyzny to \(P(0,0,2).\) Trzeba znaleźć rzut innego punktu prostej na tę płaszczyznę. Niech będzie to punkt \((0,0,0).\) Wektor prostopadły do płaszczyzny to \([1,1,1]\), a zatem rzut wykonujemy wzdłuż prostej \(x=y=z\). Stąd i z równania płaszczyzny dostaniemy \(3x=2\), a więc rzutem jest punkt \(Q\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),\) Wektor \(\overrightarrow{PQ}=\left[\frac{2}{3},\frac{2}{3},-\frac{4}{3}\right].\) Stąd szukany rzut, czyli prosta \(PQ\), ma równanie\[\frac{x}{\frac{2}{3}}=\frac{y}{\frac{2}{3}}=\frac{z-2}{-\frac{4}{3}}.\]

2. Wektory równoległe do oby prostych to \([0,0,1]\) oraz \([-1,1,1]\). Ich iloczyn wektorowy to \([-1,-1,0]\). Zatem płaszczyzny równoległe zawierające obie proste to \(-x-y+2=0\) oraz \(-x-y+1=0.\) Ich odległość jest odległością prostych. Ze wzoru na odległość płaszczyzn równoległych mamy\[d=\frac{|2-1|}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\]

Dokładne wytłumaczenie przekracza ramy pomocy wolontariackiej.