Witam serdecznie. Prosiłbym o rozwiązanie jednego zadania.
Oblicz pole trójkąta \(ABC\), jego wysokość poprowadzoną z \(A\) oraz \(\cos\angle BAC\).
\(A = (1, 1, 2)\\
B = (-1, 3, 2)\\
C = (2, -1, 4)\)
Pozdrawiam
Algebra wektorów - 1 zadanie
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Algebra wektorów - 1 zadanie
Wektory \(u=\overrightarrow{AB}=[-2,2,0],v=\overrightarrow{AC}=[1,-2,2].\) Ich iloczyn skalarny \(u\circ v=(-2)\cdot 1+2\cdot(-2)+0\cdot 2=-6\). Długości \(|u|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2},\ |v|=3.\) Kąt BAC to kąt ostry \(\alpha\) między tymi wektorami:\[\cos\alpha=\frac{|u\circ v|}{|u|\cdot |v|}=\frac{6}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},\]czyli \(\alpha =45^{\circ}.\)
Pole trójkąta ABC to połowa długości iloczynu wektorowego \(u\times v\). Potem wystarczy mając pole wyliczyć długość podstawy BC:\[|BC|=\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{29}.\] Mając podstawę i pole, łatwo liczymy wysokość.
Mamy\[u\times v=\left|\begin{array}{rrr}
i & j & k \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right|=4 \, i + 4 \, j + 2 \, k=[4,4,2],\]więc\[P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|[4,4,2]|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{36}=3.\]Z drugiej strony więc\[3=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{29}\cdot h,\]skąd łatwo wyliczasz \(h=\frac{6}{\sqrt{29}}=\frac{6\sqrt{29}}{29}.\)
Pole trójkąta ABC to połowa długości iloczynu wektorowego \(u\times v\). Potem wystarczy mając pole wyliczyć długość podstawy BC:\[|BC|=\sqrt{3^2+(-4)^2+2^2}=\sqrt{29}.\] Mając podstawę i pole, łatwo liczymy wysokość.
Mamy\[u\times v=\left|\begin{array}{rrr}
i & j & k \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & -2 & 2
\end{array}\right|=4 \, i + 4 \, j + 2 \, k=[4,4,2],\]więc\[P_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|[4,4,2]|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{36}=3.\]Z drugiej strony więc\[3=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{29}\cdot h,\]skąd łatwo wyliczasz \(h=\frac{6}{\sqrt{29}}=\frac{6\sqrt{29}}{29}.\)