forum.zadania.info

Dzień dobry,
Proszę o wyznaczenie asymptot funkcji danej wzorem \(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2x}{|1-x|}+e^{\frac{1}{1-x}}\)

wzorkoko312 pisze: ↑15 sty 2023, 21:45 Dzień dobry,
Proszę o wyznaczenie asymptot funkcji danej wzorem \(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2x}{|1-x|}+e^{\frac{1}{1-x}}\)

A z czym konkretnie masz problem?

Nie wiem jak policzyć granice do asymptot, a dokładniej jak poradzić sobie z symbolami nieoznaczonymi.

\(D=[-2;1)\cup(1,+\infty)\)

1. \(\Lim_{x\to1^-}\left(\frac{\sqrt{x+2}-2x}{|1-x|}+e^{\frac{1}{1-x}}\right)=\Lim_{x\to1^-}{1\over 1-x}\cdot\left(
   \sqrt{x+2}-2x+\frac{e^{\frac{1}{1-x}}}{{1\over1-x}}\right)=\left[{1\over0^+}\cdot(\sqrt3-2+\infty)\right]=+\infty\)
   bo
   \(\Lim_{x\to1^-}\frac{e^{\frac{1}{1-x}}}{{1\over1-x}}=\Lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{t}=\left[{+\infty\over+\infty}\right]\nad{\text{H}}{=}\Lim_{t\to+\infty}\frac{e^t}{1}=+\infty\)
2. \(\Lim_{x\to1^+}\left(\frac{\sqrt{x+2}-2x}{|1-x|}+e^{\frac{1}{1-x}}\right)=\left[{\sqrt3-2\over0^+}+e^{-\infty}\right]=[-\infty+0]=-\infty\)
3. \(\Lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\sqrt{x+2}-2x}{|1-x|}+e^{\frac{1}{1-x}}\right)=-2+e^0=-1\)

Odpowiedź: Wykres funkcji \(y=f(x)\) ma asymptotę pionową \(x=1\) i R-stronną asymptotę poziomą \(y=-1\)

Pozdrawiam