forum.zadania.info

Dla pewnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi równość \(\frac{1+x^4}{x^2} + \frac{1+16y^4}{4y^2} = 4\). Udowodnij, że \(x^2 + y^2 = \frac{5}{4}\).

PitreWace pisze: ↑15 sty 2023, 10:39 Dla pewnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi równość (1+x^4)/(x^2) + (1+16y^4)/(4y^2) = 4. Udowodnij, że x^2 + y^2 = 5/4.

\(x\neq 0\\
\frac{1+x^4}{x^2}+\frac{1+16y^4}{4y^2}=4\\
\frac{(1-x^2)^2+2x^2}{x^2}+\frac{(1-4y^2)^2+8y^2}{4y^2}=4\\
(\frac{1-x^2}{x})^2+2+(\frac{1-4y^2}{2y})^2+2=4\\
(\frac{1-x^2}{x})^2+(\frac{1-4y^2}{2y})^2=0\\
1-x^2=0\;\;\;\wedge\;\;\;1-4y^2=0\\
x^2=1\;\;\wedge\;\;y^2=\frac{1}{4}\\
x^2+y^2=\frac{5}{4}\)

Albo, bezpośrednio z faktu:
\[\bigwedge\limits_{a>0}a+{1\over a}\ge2\wedge (a+{1\over a}=2\iff a=1)\]
mamy
\(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right) \ge 2+2=4\wedge\left(\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right) + \left(\frac{1}{(2y)^2}+(2y)^2\right)=4\iff\begin{cases}x^2=1\\(2y)^2=1\end{cases}\right)\)

Pozdrawiam