forum.zadania.info

Rzucamy dwa razy monetą. Niech zmienna losowa X będzie równa liczbie orłów w
pierwszym rzucie (tzn. X = 1, gdy wypadł orzeł, X = 0, gdy wypadła reszka), zaś Y będzie równa
liczbie orłów w dwu rzutach. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Z := X + Y. Obliczyć wartość
oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej Z.

Mamy takie zdarzenia elementarne, wszystkie z prawdopodobieństwem 1/4.

1. OO : X=1, Y=2, X+Y=3
2. OR: X=1, Y=1, X+Y=2
3. RO: X=0, Y=1, X+Y=1
4. RR: X=0, Y=0, X+Y=0

Zatem zmienna \(Z=X+Y\) ma następujący rozkład: przyjmuje wartości \(0,1,2,3\), każdą z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{4}.\) Stąd\[EZ=\frac{1}{4}(0+1+2+3)=\frac{3}{2}.\] Dalej\[E(Z^2)=\frac{1}{4}(0^2+1^2+2^2+3^2)=\frac{14}{4}.\] Dlatego\[D^2Z=E(Z^2)-(EZ)^2=\frac{14}{4}-\frac{9}{4}=\frac{5}{4}.\]