Oblicz granicę
: 06 sty 2023, 16:29
\( \Lim_{n\to+\infty }(\frac{5}{9})\cdot(\frac{14}{20})\cdot(\frac{27}{35})\cdot...\cdot(\frac{2n^2-n-1}{2n^2+n-1}) \)
Fakt:
\(\dfrac{2k^2-k-1}{2k^2+k-1}=\dfrac{(k-1)(2k+1)}{(k+1)(2k-1)}\)
Zatem (zauważ kreślenie się czynników w licznikach i mianownikach!)
\(a_n=\dfrac{1\cdot5}{3\cdot3}\cdot\dfrac{2\cdot7}{4\cdot5}\cdot\dfrac{3\cdot9}{5\cdot7}\cdot\dfrac{4\cdot11}{6\cdot9}\cdot\dfrac{5\cdot13}{7\cdot11}\cdot\ldots\cdot\dfrac{(n-1)(2n+1)}{(n+1)(2n-1)}=
\dfrac{1\cdot2\cdot(2n+1)}{3\cdot n\cdot(n+1)}\nad{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\)
Pozdrawiam