forum.zadania.info

Niech ciąg \( (a_n) \) będzie taki, że \( a_1=\sqrt{2}\) i \(a_{n+1} = (\sqrt{2})^{\log_2 a_n} \). Ciąg \((b_n)\) określony jest następująco: \( b_n = a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n\). Oblicz \(\Limn b_n\)

\(a_{n+1} = (\sqrt{2})^{\log_2 a_n} =2^ {\log_2 a_n)/2}= (2^ {\log_2 a_n)})^{1/2}=(a_n)^{1/2} \)
\( b_n = a_1\cdot a_2 \cdot a_3 \cdot ... \cdot a_n=a_1^{1+ (\frac{1}{2} )+(\frac{1}{2} )^2+...+(\frac{1}{2} )^n}\).
\( \Lim_{n\to \infty } b_n=a_1^2=2\)