Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi
Jeśli
\(z=f(x, y) = \frac{1}{ \sqrt{x^2 +y^2 - 4} }\) ,to
a) dziedzina funkcji jest kołem
b) dziedzina jest płaszczyzna bez kola
C) poziomice są okręgami o promieniach >2
d)poziomice spełniają równanie \(x^2 +y^2 =4+ \frac{1}{z^2 } \)
Dziedzina i poziomice funkcji dwóch zmiennych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Dziedzina i poziomice funkcji dwóch zmiennych
b) Musi zachodzić warunek \(x^2+y^2>4,\) więc dziedziną jest zewnętrze koła o środku \((0,0)\) i promieniu \(2\).
d) Niech \(z>0\) będzie poziomem. Z równania \(f(x,y)=z\) wnosimy, że\[x^2+y^2=4+\frac{1}{z^2}.\]Dla poziomów ujemnych poziomice są zbiorami pustymi.
c) Poziomice odpowiadające poziomom dodatnim \(z>0\) są oczywiście takimi okręgami. Jednak dla poziomu zerowego oraz poziomów ujemnych są zbiorami pustymi.
Ewidentnie poprawna jest odpowiedź b, a fałszywa a. Natomiast co do c, d, ich tezy spełniają poziomice odpowiadające poziomom dodatnim. Te poziomice są niepuste. Kwestia czy należy rozważać poziomice puste... Na mapie one nie występują.
PS. Po zastanowieniu dochodzę do wniosku, że d jest odpowiedzią poprawną. Niech bowiem \(z\) będzie dowolnym poziomem. Mamy równanie \(f(x,y)=z\), z którego wynika, że \(\sqrt{x^2+y^2-4}=\frac{1}{z}\), skąd już \(x^2+y^2=4+\frac{1}{z^2}\). Tak więc jeśli \(z\) jest poziomem, to musi zachodzić to ostatnie równanie. Nieważne, że dla \(z\) ujemnego nie przekłada się to na związek \(f(x,y)=z\).
d) Niech \(z>0\) będzie poziomem. Z równania \(f(x,y)=z\) wnosimy, że\[x^2+y^2=4+\frac{1}{z^2}.\]Dla poziomów ujemnych poziomice są zbiorami pustymi.
c) Poziomice odpowiadające poziomom dodatnim \(z>0\) są oczywiście takimi okręgami. Jednak dla poziomu zerowego oraz poziomów ujemnych są zbiorami pustymi.
Ewidentnie poprawna jest odpowiedź b, a fałszywa a. Natomiast co do c, d, ich tezy spełniają poziomice odpowiadające poziomom dodatnim. Te poziomice są niepuste. Kwestia czy należy rozważać poziomice puste... Na mapie one nie występują.
PS. Po zastanowieniu dochodzę do wniosku, że d jest odpowiedzią poprawną. Niech bowiem \(z\) będzie dowolnym poziomem. Mamy równanie \(f(x,y)=z\), z którego wynika, że \(\sqrt{x^2+y^2-4}=\frac{1}{z}\), skąd już \(x^2+y^2=4+\frac{1}{z^2}\). Tak więc jeśli \(z\) jest poziomem, to musi zachodzić to ostatnie równanie. Nieważne, że dla \(z\) ujemnego nie przekłada się to na związek \(f(x,y)=z\).